Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 3 部：Ward–Takahashi 恒等式・真空偏極テンソル・β 関数（§4–§5）

0. この記事の要点

物理の理論を細かい目の網の上で近似し、網を少しずつ粗くしていくと、理論を表す式に新しい項が次々に生まれます。そのうち網の細かさに左右されない大事な項が、もとの理論と同じ形にまとまり、「強さを表す 1 つの数」の変化だけで済むことを示すのがこの記事の内容です。鍵になるのは、場の取り替えに対する理論の対称性（ゲージ対称性。格子ではリンク変数のゲージ変換についての不変性）です。

• T. Bałaban, “Renormalization group approach to lattice gauge field theories. I”（Commun. Math. Phys. 109 (1987) 249–301）の §4（pp.281–292）と §5（pp.292–298）を精読します。第 2 部で残った「揺らぎ場について 4 次までの局所的な項」を、ゲージ不変性だけを使って 2 次の核 1 つ（真空偏極テンソル $\Pi$。有効作用の 2 階微分を局所化領域について足した核）に還元し、その核の運動量表示から β 関数を定め、限界的な項が反対項 $\beta_jA$ と打ち消し合うことを示す節です。
• 道具の中心は Ward–Takahashi 恒等式（ゲージ不変性を微分して得る、導関数どうしの関係式。定理 3.2）です。ゲージ不変な関数 $\mathbf E(e^{iB})$ を微小ゲージ変換の方向に微分した基本恒等式 (4.9) を、さらに $B$ について微分して $B=0$ で評価すると、高階の微分 $\mathbf E^{(3)},\mathbf E^{(4)}$ を勾配 $\partial\lambda$ に縮約したものが、より低い階の微分で書ける恒等式の系列 (4.15) が得られます。1 次の微分は半単純性から $0$ です (4.14)。
• 4 次と 3 次の項は、場 $B$ を点 $x$ のまわりで展開し「定数の場は純ゲージ $\partial\lambda_x$」という事実と恒等式 (4.15) を交互に使うことで、$\mathbf E^{(2)}$ の 0 次・1 次・2 次のモーメントと $B$ の局所多項式の積に書き直せます（(4.29)(4.31)(4.34)）。残りは $(L^j\eta)^{4+\beta}$ の因子をもつ無関連な項（くりこみ群の段を進めると小さくなり、結合定数に繰り込まなくてよい項）です。原論文が「同様に」で済ませた余りの評価は、Faà di Bruno 型の微分の表示と Cauchy 評価から一般的な判定法（補題 4.6）を作り、すべてそれに帰着させます。
• §5 では $\Pi$ の Fourier 変換を帯状領域で解析的に延長し、Laurent 分解と Taylor の公式で「2 次までの多項式 ＋ 差分 3 個の積 × 解析的な係数」に分けます。ゲージ不変性（横断性）と超立方群の対称性から 2 次の部分は $\beta(\delta_{\mu\nu}\lvert p\rvert^2-p_\mu p_\nu)$ の形に限られ、$\beta=\sum_x\Pi_{\mu\nu}(x)x_\mu x_\nu$（$\mu\ne\nu$）が β 関数です（定理 6.10）。
• 結論は、核 $\Pi-\beta_j\Delta_j$ の Fourier 変換が $p=0$ で 3 次まで消えるので、限界的な項がすべて打ち消し合い、残りは無関連になることです（定理 6.11）。原論文の (5.16)(5.37) の 3 次以上の項の添字の置き方は (5.15) と整合しないので、本章では整合する形 $\delta_{\mu\nu}\Delta(p)-\partial_\mu(p)\overline{\partial_\nu(p)}$ に直しました（注意 6.9）。

1. 動機

1.1. §4–§5 は何をする節か

第 1 部で、$k+1$ 段目の揺らぎ場の積分の被積分関数が、作用の明示的な項 $\mathbf P^{(k)}$ と、前の段までの局所化項の差

$$\sum_{j=1}^k\Bigl[\mathbf E^{(j)}\bigl(U_k(e^{iB'}V^{(k)})\bigr)-\mathbf E^{(j)}\bigl(U_k(V^{(k)})\bigr)\Bigr]-\sum_{j=1}^k\beta_j(g_{j-1})\Bigl[A\bigl(U_k(e^{iB'}V^{(k)})\bigr)-A(U_{k+1})\Bigr]$$

からなることを見ました（定義 2.1［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部］）。第 2 部は第 1 の和を、1 の分割 $1=\sum_\square\zeta_\square$ で立方体ごとに分け、局所化領域 $X$ が立方体 $\square$ の近く（$X\subset\tilde\square^2$）にある項を、平均の場 $B=Q_j(\eta A)$ について 4 次まで Taylor 展開しました（定理 7.1［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部］）。残ったのは

$$\frac{\partial}{\partial t_\square}\sum_{n=1}^4\frac1{n!}\Bigl\langle\frac{\delta^n}{\delta B^n}\mathbf E^{(j)}\bigl(X,U_j(\square_0,1)\bigr),\bigotimes^nB\Bigr\rangle\Big\vert_{t_\square=0}$$

という有限個の項です。$B$ は $j$ 段目の単位格子で見て大きさ $L^j\eta$ の場なので、$n$ 次の項は形式的には $(L^j\eta)^n$ 程度で、無関連の基準 $(L^j\eta)^{4+\alpha}$（定義 4.6［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）に届きません。これらは「限界的」または「関連的」な項で、すべて処理しないと帰納法が回りません。

§4–§5 の内容は次の 3 段です。

1. ゲージ不変性から Ward–Takahashi 恒等式を導き、1 次の項が $0$ であること、3 次・4 次の項が 2 次の微分 $\mathbf E^{(2)}$ で書けることを示す（§4、本章 §3・§5）。
2. 局所化領域について足し合わせた $\mathbf E^{(2)}$、すなわち真空偏極テンソル $\Pi$ の運動量表示を調べ、その主要部が 1 つの数 $\beta$ で決まることを示す（§5 前半、本章 §6）。
3. $\beta_j$ をその数に選べば、限界項が反対項 $\beta_jA$ の展開と打ち消し合う（§5 末、本章 定理 6.11）。

1.2. なぜ Ward–Takahashi 恒等式が要るか

4 次元では、揺らぎ場の積分が生む 2 次の項のうち、場の 2 階微分程度の大きさ（次元 4 の演算子）のものは限界的で、結合定数のくりこみで吸収しなければなりません。ゲージ理論では次元 4 以下の局所演算子の候補はたくさんありますが（質量項 $\mathrm{tr}B_\mu B_\mu$、$\mathrm{tr}(\partial_\mu B_\mu)^2$ など）、ゲージ不変性があれば Yang–Mills 作用の密度 $\frac12\mathrm{tr}F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ しか許されません。連続理論の摂動論では、これを Ward–高橋恒等式（QED の 1 ループの場合は 定理 3.2［QED の 1 ループ］、真空偏極の横波性は 命題 4.1［QED の 1 ループ］）で確かめます。Bałaban は同じことを、くりこみ群の各段で生じる非摂動的な局所化項 $\mathbf E^{(j)}(X,\cdot)$ について行います。使うのは $\mathbf E^{(j)}(X,\cdot)$ がゲージ不変な解析関数であることだけで、摂動展開は使いません。

格子特有の難しさは 2 つあります。第 1 に、場はボンドの上にあり、平行移動・鏡映でボンドの始点がずれるので、Euclid 共変性の式に位相因子が入ります（(5.7)(5.13)）。第 2 に、3 次・4 次の項に現れる場 $B$ は点ごとに違う値をとるので、「定数の場は純ゲージ」という事実を使うには、$B(y)$ を $B(x)$ と差分 $B(y)-B(x)$ に分け、差分の項が無関連であることを示さなければなりません。後者は $\mathbf E^{(n)}$ が局所化領域から離れると指数的に小さいことに依存し、これが評価の要になります。

1.3. 物理への含意と前後の論文

本章の結論で定まる $\beta_j(g_{j-1})=\sum_x\Pi_{j,\mu\nu}(x)x_\mu x_\nu$ は、有効結合定数の流れ $g_{j-1}^{-2}=g_j^{-2}+\beta_j$ を決める非摂動的な β 関数です。その符号と大きさ、すなわち $\beta_j=\beta_0+O(g_{j-1})$ で $\beta_0\gt0$（漸近的自由性）であることは、本論文では示されません。これは第 1 部の Theorem 2（定理 4.8［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）の内容で、原論文が予告した証明は刊行されていません。続く論文 III は、$\beta_j$ が別の表示（$\Pi_{22}$ の 2 次モーメント）とも一致することを示しています（定理 7.12［Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)］）。

可換群 $U(1)$ の場合（QED₄ のゲージ部分）には、交換子がすべて消えるので、高階の恒等式 (4.15) は「$\mathbf E^{(n)}$ を $\partial\lambda$ に縮約すると $0$」という単純な形になり、3 次・4 次の項は最初から限界的になりません。$\Pi$ の横断性と $\beta$ の定義（§5）はそのまま通ります。違いは β 関数の符号で、フェルミオンを含む QED₄ では 1 ループの係数が負（結合定数が紫外で増大、定理 5.2［QED の 1 ループ］）なので、「すべての $g_k$ が小さい」という本論文の仮定が保たれません。非可換の場合の 1 ループの係数は 定理 5.1［非可換ゲージ理論の量子化］ にあります。本章の議論は、β 関数の符号によらず「限界項は 1 つの数 $\beta_j$ に集約される」ことを示す部分です。

1.4. 本章の範囲と原論文との対応

原論文	本章
(4.1)–(4.5)	補題 4.2、補題 4.3
(4.6)–(4.15)	補題 3.1、定理 3.2、系 3.3、命題 3.4
(4.16)–(4.18)	補題 4.4
(4.19)–(4.29)	補題 5.1、命題 5.2
(4.30)(4.31)	補題 4.5、命題 5.3
(4.32)–(4.34)	補題 3.5、定理 5.5
(4.35)–(4.37)	補題 5.7、定義 5.6
(4.38)–(4.45)	命題 5.8
(5.1)–(5.15)	命題 6.1、補題 6.2、命題 6.3
(5.16)–(5.38)	補題 6.4、補題 6.5、命題 6.7、定理 6.8
(5.39)–(5.42)	定理 6.10
(5.43)(5.44)、§5 末	定理 6.11、注意 6.12

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