Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 2 部：着衣場のポリマー関数とノルム・関連部分の抽出と改良されたスケール評価・フェルミオン行列式の表示

0. この記事の要点

場の理論を細かい格子から粗い格子へ一段ずつ見直していくと、毎段「まだ扱い切れていない小さな補正」が残ります。この章は、その補正の大きさを測る物差しを決め、補正の大部分が段を進めるたびに一定の割合で小さくなることを示します。小さくならない部分は 2 つの数（真空のエネルギーと質量のずれ）だけで、それを取り出して別に追跡すれば、残りは縮み続けます。

• くりこみ群（格子を粗くしていく変換）の各段で、有効作用は「場について局所的な小さい関数」の和として書かれます。本章はその小さい関数（ポリマー関数）を測る物差しと、それが段を進めるごとに縮むことの証明を扱います。対象は J. Dimock の論文 “Ultraviolet regularity for QED in d=3” の §4・§5、付録 A・B と §6.1 の Remark 1 です。
• ポリマー関数は、臨界点の場 $\psi_k(A)=H_k(A)\Psi_k$（着衣場）とその Hölder 差分 $\chi_k(A)$ の多項式で、核の重みつき $\ell^1$ ノルム $\|E\|_k$ で測ります。代数の元ではなく表示（核）に付くノルムであることに注意します。着衣ノルムから基本変数 $\Psi_k$ のノルムへの移り方、Gauss 積分の評価（モーメント公式の符号を正して）を証明します。
• 再ブロックとスケールの合成 $\mathcal L$ は、何もしなければ $\|\mathcal LE\|_{k+1}\le O(1)L^3\|E\|_k$ と増えます。真空エネルギー密度と質量項（関連部分）を抽出して $E=-\varepsilon(E)\mathrm{Vol}-m(E)\int\bar\psi\psi+\sum_X\mathcal RE(X)$ と書くと、残り $\mathcal RE$ は $\|\mathcal L\mathcal RE\|_{k+1}\le O(1)L^{-\frac14+2\epsilon}\|E\|_k$ と縮みます（原論文 (404)）。これが第 4 部で流れの境界値問題を縮小写像で解く根拠です。
• 抽出した質量 $m(E)$ が単位行列の定数倍で実数であることは、格子の回転・反転の持ち上げ $S=\gamma_\mu$ と、$\gamma_\mu$ と可換な $4\times4$ 行列はスカラーだという Clifford 代数の既約性から示します。
• ゆらぎの行列式 $\delta Z_k(A)$ を対数の積分表示で明示し（Lemma 17）、伝播関数とその変形版のポリマー展開を第 1 篇の結果の「領域をすべてトーラス全体にとった場合」として述べます。
• 原論文の定義どおりでは改良スケール評価の証明が通らない箇所（場の領域 $R_k$ の Hölder 条件の指数、Hölder 差分 $\chi$ の 2 点の距離、抽出後の核の $A$ 依存の局所性、Gauss 積分のモーメントの符号）を特定し、最小限の修正を加えて証明します。

1. 動機

1.1. 何を示す章か

格子間隔 $\epsilon=L^{-N}$ の QED₃ にくりこみ群の変換を $k$ 回施すと、密度は（第 1 部の記号で）

$$\rho_k=N_kZ_kZ_k(0)\exp\Bigl(-\tfrac12\|dA_k\|^2-S_k(A_k,\psi_k(A_k))-m_k\langle\bar\psi_k,\psi_k\rangle-\varepsilon_k\mathrm{Vol}+E_k(A_k,\psi_k^\#(A_k))\Bigr)$$

の形に書かれます（原論文 (397)）。前の 4 つは自由な場の作用と、2 つの数（質量 $m_k$ と真空エネルギー密度 $\varepsilon_k$）だけで決まる項です。最後の $E_k$ が相互作用の効果をすべて含む「残り」で、それを空間の小さい塊（ポリマー）ごとの和 $E_k=\sum_XE_k(X)$ として扱います。

次の段に進むと、$E_k$ は再ブロック（$M$ 立方体を $LM$ ブロックにまとめ直すこと）とスケール（格子を $1/L$ 倍に縮めること）を受けます。立方体 1 個あたり $L^3$ 個の項がまとまるので、そのままでは大きさが $L^3$ 倍になり得ます。一方、場はスケールで小さくなります：フェルミオン 1 本につき $L^{-1}$、Hölder 差分 1 本につき $L^{-1-\alpha}$、ゲージ場 1 本につき（領域の大きさで測って）$L^{-3/4}$ 程度です。数え上げると、場を 4 本以上含む項や、$\bar\psi\psi$ でも Hölder 差分を含む項は $L^{-13/4}$ 以下に縮み、$L^3$ に勝ちます。勝てないのは場を含まない定数項と、微分を含まない $\bar\psi\psi$ の項だけです。これがくりこみ群の言葉での関連部分で、厳密なくりこみ群 の冪の勘定 命題 4.5［厳密くりこみ群］ の QED₃ 版にあたります。

本章の中心は次の主張です。関連部分を真空エネルギー $\varepsilon(E)$ と質量 $m(E)$ として取り出し、その流れを方程式 $\varepsilon_{k+1}=L^3(\varepsilon_k+\varepsilon(E_k)+\cdots)$、$m_{k+1}=L(m_k+m(E_k))$ に移せば、残りは $L^{-1/4+2\epsilon}$ 倍に縮みます。第 4 部では、この縮小と $\varepsilon,m$ の流れの方程式を組にした写像の不動点として、裸のパラメータを決めます。

1.2. 3 部作の中での位置と本章の材料

本テーマで先に精読した第 1 篇（Multiscale block averaging）は、本論文の大域的な構成を領域の列 $\Omega=(\Omega_1\supset\cdots\supset\Omega_k)$ に一般化したものです。伝播関数のポリマー展開（第 1 篇第 2 部）、ゲージ場の最小化元の局所正則性（第 1 篇第 4 部）は、$\Omega_1=\cdots=\Omega_k=$ トーラス全体とおけば本論文の主張になるので、系として述べます。一方、ポリマー関数のノルム・抽出・改良スケール評価は第 1 篇には無く、本章で初めて完全に証明します。Grassmann 代数の核のノルムの基本性質（積の評価、線形写像の代入）は後篇（Ultraviolet stability）の精読章でまとめて証明するので、そこを参照し、後篇に無い 2 つ（場の和への代入と部分 Gauss 積分）を本章で証明します。

1.3. 原論文との違い

箇所	原論文	本章
(286) $R_k$ の Hölder 条件	$\lvert\delta_\alpha\partial A\rvert<e_k^{-3/4+3\epsilon}$	$e_k^{-3/4+2\epsilon}$ に緩める（注意 4.3）。改良スケール評価 (356) の Cauchy 積分で、場を $X$ の近くだけ保って外で切る必要があり、指数がそろっていないと切断が領域を壊すため
(277) Hölder 差分 $\chi$	すべての 2 点 $x\ne y$	$0<\lvert x-y\rvert\le R_\chi$ に制限。複素の $A$ では遠い 2 点の位相因子が有界でなく、(284) が成り立たない
(339) 付け替えの位相	直線的な経路の $\tau A$	$X$ の中の立方体の鎖に沿った位相。核が $X$ の外の $A$ に依存しないようにするため
(349) $\tilde R_k$ から $R_k$ へ	「ゲージ不変性で置き換えられる」	実のゲージ変換は $\square^\dagger$ の上でしか効かないので、局所性と切断で置き換える（補題 8.3）
(354) 複素のゲージ変換	位相因子で比べる	実のゲージ共変性からの解析接続で証明
(663)〜(666) モーメント	$\int\Psi(I)\bar\Psi(I)d\mu_I=1$	符号 $(-1)^{n(n-1)/2}$ が付く。(667) の評価は変わらない
(307)	$\kappa\ge\kappa_0$	和の評価には $\kappa\ge\kappa_0+1$（改良評価では $\kappa_0+2$）が要る
(557)	連結な和の $d_M$ に $+2$	定数 $3$ で証明する
Corollary 1 の $m(E)$	「$S=\gamma_\mu$ は反転を誘導」	$\gamma_0,\gamma_1,\gamma_2$ は座標軸のまわりの $\pi$ 回転、$\gamma_3$ は全反転の持ち上げであることを確かめ、Clifford 代数の既約性を証明する
Lemma 13	「詳細は省く」	評価を書く

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