Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 3 部：主定理（有界場近似の 1 段）の主張と前半の証明 — 抽出・ゲージ場とフェルミオン場の平行移動・第 1 と第 2 の局所化

0. この記事の要点

• くりこみ群は「細かい格子の上の確率の重み（密度）を、粗い格子の上の密度に写す操作」を繰り返す方法です。本章が扱う主定理は、この操作を 1 回施しても密度の形が変わらず、形を決める少数の係数（真空エネルギー密度 $\varepsilon_k$、質量 $m_k$、局所的な補正 $E_k$）だけが決まった規則で更新される、という主張です。
• 対象は J. Dimock “Ultraviolet regularity for QED in d=3” の §6.1〜§6.2.5 です。場とゆらぎに対数的な上限 $p_k=(-\log e_k)^p$、$p_{0,k}=(-\log e_k)^{p_0}$ を課す有界場近似のもとで、主定理 Theorem 1（定理 3.1）を述べ、その証明の前半を完全に書きます。後半（ゆらぎ積分のクラスター展開・行列式・スケール）は第 4 部で証明し、主定理の証明は両方の命題を順に指して組み立てます。
• 前半の段取りは、(1) 補正 $E_k$（局所的な項の和であるポリマー関数）から定数項と質量項を抜き出す**抽出、(2) ゲージ場を最小化元のまわりに平行移動し、背景場の食い違いをゲージ変換とフェルミオンの位相回転で吸収するゲージ場の平行移動**、(3) ゆらぎの場について項を局所的なポリマー和に直す第 1 の局所化（Lemma 20〜22）、(4) フェルミオンを臨界点のまわりに平行移動して Gauss 測度を取り出すフェルミオン場の平行移動、(5) フェルミオンのゆらぎについての第 2 の局所化（Lemma 23）です。
• 局所化の道具は 2 つです。解析的な関数の差を Cauchy 積分で表して小さな因子を得るCauchy の差分評価（補題 2.5）と、ランダムウォーク展開に入れた弱めパラメータの補間（補題 2.6）です。原論文が Lemma 20〜23 のたびに繰り返す補間の議論を一般形で 1 回だけ証明します。
• 原論文の 3 つの不備を直します。領域 (426) と (425) の大小関係の取り違え（ゆらぎの領域を $\lvert\tilde Z\rvert\le e_k^{-\epsilon/2}$ に取り直すと全ての指数が保たれる）、左逆 $T_k(A)$ の代入で局所性がブロックの境界で 1 格子だけはみ出す点（Hölder 差分 $\chi$ を使う局所的な左逆で解消）、Lemma 21 の重みの勘定（Hölder 成分の重みが $e_k^{\epsilon}$ 倍小さいことによる指数の $\epsilon$ 1 つ分の損失。主定理には影響しない）です。
• 原論文が「straightforward だがやや tedious」とだけ述べる対称性の保存を証明します（§8.1）。ゲージ変換・格子の平行移動と符号行列・複素共役は構成の各段が項ごとに保ちます。荷電共役は、原論文どおりの構成では項ごとには導けないので、弱めた Dirac の作用素を右からと左からの逆の展開の平均でとり、「ポリマーの部分和が不変なら包除原理で各項が不変」という論法で示します。主定理に対称性についての仮定は残りません（座標を入れ替える格子対称性は主張しません。抽出には要りません）。

1. 動機

1.1. 主定理は何を言うのか

格子の上の場の理論の分配関数を直接評価するのは難しいので、くりこみ群では場を「粗い格子の平均値」（ブロック平均）と「平均のまわりのゆらぎ」に分け、ゆらぎだけを積分します。積分の後に残るのは粗い格子の上の新しい密度で、それを拡大して単位格子に戻すと、再び同じ種類の問題になります。この操作を $k=0,1,2,\dots$ と繰り返すとき、密度がいつも

$$\rho_k=(\text{正規化})\times\exp\Bigl(-\tfrac12\|d\mathcal A_k\|^2-\mathcal S_k-m_k\langle\bar\psi_k,\psi_k\rangle-\varepsilon_k\mathrm{Vol}+E_k\Bigr)$$

という形に保たれ、係数 $(\varepsilon_k,m_k,E_k)$ が具体的な流れの方程式に従うことを示すのが Theorem 1 です。流れの方程式の形

$$\varepsilon_{k+1}=L^3\bigl(\varepsilon_k+\varepsilon(E_k)+\varepsilon^0_k\bigr),\qquad m_{k+1}=L\bigl(m_k+m(E_k)\bigr),\qquad E_{k+1}=\mathcal L\bigl(\mathcal RE_k+E^{\det}_k+E^\#_k(m_k,E_k)\bigr)$$

は、くりこみ群の標準的な絵（厳密なくりこみ群 の関連・非関連の分類）そのものです。真空エネルギーは体積の因子 $L^3$ で、質量は $L$ で増える関連な量で、残りの $\mathcal RE_k$ は再ブロックとスケールの作用素 $\mathcal L$ で $L^{-1/4+2\epsilon}$ 倍に縮む非関連な量です（第 2 部の縮小評価）。第 4 部では、この方程式を始点と終点の両方に条件を課した境界値問題として縮小写像で解き、裸の質量と真空エネルギーの調整（くりこみ）を行います。

1.2. 有界場近似とは

完全な解析では、場が大きい領域（大場領域）を別に扱う必要があります（後篇 Ultraviolet stability）。本論文はその前段として、各段で特性関数 $\chi_k\hat\chi_k$ を入れて場を

$$|d\mathcal A_k|\le p_k,\qquad |\mathcal A_k-H^x_k\mathcal A_{k+1}|\le p_{0,k}$$

に制限します。$p_k$、$p_{0,k}$ は結合定数 $e_k$ の対数の冪で、$e_k\to0$ で大きくなりますが、$e_k^{-\delta}$（どんな $\delta>0$ でも）よりはずっと小さい量です。このため、場の大きさの上限は「Cauchy 積分の半径」$e_k^{-3/4+O(\epsilon)}$ に比べて小さく、解析性を使った評価がすべての段で使えます。Theorem 1 の主張は、この近似のもとで小場の解析が 1 段で閉じることです。

1.3. 本章と前後の章

章	内容
第 1 部	模型、対称性、フェルミオンとゲージ場のくりこみ変換の代数、伝播関数と最小化元のランダムウォーク展開（大域版）
第 2 部	着衣場のポリマー関数とノルム、関連部分の抽出、改良されたスケール評価、フェルミオン行列式の表示
本章	主定理の主張、1 段の前半（抽出・平行移動・2 回の局所化）
第 4 部	1 段の後半（クラスター展開・行列式の比・スケール）と流れの境界値問題

同じ段取りの多尺度版は後篇の第 2 部にあり、本章の補題はその「すべての領域がトーラス全体」の場合にあたります。

1.4. 原論文との違い

箇所	原論文	本章
(426) と (425)	$\lvert\tilde Z\rvert\le e_k^{-2\epsilon}$ なら $\lvert\mathcal Z_k\rvert\le Ce_k^{-2\epsilon}\le e_k^{-\epsilon}$	$e_k<1$ では $Ce_k^{-2\epsilon}>e_k^{-\epsilon}$ で、Hölder 条件 $\lVert\delta_\alpha\partial\mathcal Z\rVert\le e_k^{-\epsilon}$ が満たされない。ゆらぎの領域を $\lvert\tilde Z\rvert\le e_k^{-\epsilon/2}$ に取り直す（定義 6.1、注意 6.3）
(428)	$E^{(1)}=\langle\bar\Psi,(D_k(A+Z)-D_k(A))\Psi\rangle$	定義 (421) からは符号が逆。評価には影響しない
(451)	半径 $e_k^{-3/4+4\epsilon}$ で $u\mathcal Z\in\frac12\mathcal R_k$	因子 2 が足りない。(434) と同じ半径 $\frac12e_k^{-3/4+4\epsilon}$ にする
(422)	$Q_k^{\mathsf T}(A)Q_k(A)$	$P_k(A)=Q_k^{\mathsf T}(-A)Q_k(A)$ の誤記。$T_k(A)=b_k^{-1}Q_k(A)(D_A+\bar m_k)+Q_k(A)$ と簡約できる
(444)(460)	$\Psi_k=T_k(A)\psi_k(A)$ を代入して $X$ に局所的	$D_A$ がブロックの外の 1 点に届くので、$X$ の外に 1 格子はみ出す。Hölder 差分 $\chi$ を使う局所的な左逆 $T^\#_k(A)$ で解消（補題 5.6）
(453)	重み $\frac12\mathbf h_k+CC_Te_k^{\epsilon}\mathbf h_k\le\mathbf h_k$	Hölder 成分では $h_{k,2}=e_k^{\epsilon}h_k$ なので成り立たない。Cauchy の半径を $e_k^{-3/4+6\epsilon}$ にし、Lemma 21・22 の指数を $\epsilon$ だけ弱める（主定理には影響しない）
(440)	「$\square\subset X$ の変数で補間」	補間するのは $X$ の外の変数（式 (441) のとおり）
(153)〜(156) と (440)〜(443)	長さ $0$ の項には $s_\omega=1$。「$Y$ の外で $s=0$ なら $Y$ の中だけで決まる」	長さ $0$ の項に $s_\omega=1$ を置くと分離は成り立たない（$Y$ の外の立方体の局所的な項が残る）。長さ $0$ の項にもパラメータを掛け、分離を証明する。評価の定数は $M$ 倍になり、$e$ を小さくとって吸収する（定義 2.7、補題 2.8）
(480)	定数なし	5 つの項の和なので $O(1)$ がつく（第 4 部の (497) と整合）
弱めた Dirac の作用素	右からの逆の展開の項に $s_\omega$ を掛ける	右からと左からの展開の項の平均に $s_\omega$ を掛ける。評価・分離は同じで、荷電共役の関係が項ごとに成り立つ（定義 2.7、注意 8.7）
(571) の後の対称性	「straightforward だがやや tedious」	ゲージ・格子（平行移動と符号行列）・複素共役は 命題 8.4、荷電共役は 命題 8.6 で証明する。座標を入れ替える格子対称性は主張しない
Theorem 1	$E^\#_k(m,E)$ の定義域、$\varepsilon^0_k$ の出所が明記されていない	複素の $(m,E)$ で定義されること、$\varepsilon^0_k$ が特性関数 $\hat\chi_k$ だけから来る定数であることを主張に入れる
Theorem 1 の $\lVert E^{\det}_k\rVert_k\le e_k^{1/4-\epsilon}$	無条件	トーラスを一周するポリマーで破れうるので、トーラスの一辺の $M$ 立方体の数が $\log e_k^{-1}$ より十分大きいという条件 (W) を付ける（第 4 部の Lemma 24）

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