Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 2 部：揺らぎ場の積分の展開と解析接続（§3）

0. この記事の要点

細かい尺度で作った補正項を、粗い尺度のゆっくりした揺らぎで動かすと、その変化はどう振る舞うか。この記事は、その変化が「少数の簡単な項」と「尺度の比の 5 乗で小さい残り」に分かれることを、複素関数の評価（正則関数の値の上界から微分の上界を出す Cauchy の評価）だけで確かめる回です。

• T. Bałaban, “Renormalization group approach to lattice gauge field theories. I”（Commun. Math. Phys. 109 (1987) 249–301）の §3（pp.269–281）を精読します。§3 は、$k+1$ 段目の揺らぎ場積分の被積分関数のうち、前の段までの有効作用の差 $\mathbf E_k(U_k(e^{iB'}V^{(k)}))-\mathbf E_k(U_k(V^{(k)}))$ を、揺らぎ場について 4 次までの局所的な項と、無関連な剰余に分ける節です。
• 道具は 3 つです。(1) 1 の分割 $1=\sum_\square\zeta_\square$ と微積分の基本定理で、差を立方体 $\square$ ごとの微分に分ける（第 1 の局所化）。(2) 局所化領域 $X$ が $\square$ から遠いときは、微分を Cauchy 積分に書き直し、最小配位の応答の指数減衰から $(L^j\eta)$ の任意の冪を取り出す。(3) $X$ が $\square$ の近くにあるときは、局所化した最小配位 $U_j(\square_0,\cdot)$ を使って配位を「平均の場 $B$」で表し、$B$ について 5 次まで Taylor 展開する。
• 剰余の評価には、変形した複素配位 $U_j(\square_0,\exp i(\tau B+B'))$ が帰納的仮定の解析性の領域 $\mathfrak U^c_j(X,\alpha_0,\alpha_1)$ に入ること（原論文 Lemma 4）が要ります。本章ではこれを、平均の一貫性（細かい条件の最小配位は粗い条件の最小配位に一致する）と、曲率の評価の鎖 (3.37)–(3.52) を全部書いて証明します。第 1 部が仮定に回した「複素配位についての (1.17)」は、この補題の 2 として得られます。
• 原論文から直した点が 2 つあります。1 の分割の関数 $\zeta$ について原論文は「2 階までの導関数が 5 以下」としますが、2 階導関数は必ず 36 以上になることを示し、具体的な $C^2$ 関数（導関数 6 以下、2 階 52 以下）に置き換えます。また原論文が「同様の評価」とした最小配位の写像の $D^*D$ についての評価（性質 (D)）は、臨界点の Lagrange 乗数の恒等式を複素のデータへ解析接続して本章で証明します（補題 4.6）。遠い領域の評価と $\tilde\square^4$ の外の層の扱い（原論文が「同様」で省いた部分）は、最小配位の近くでの解析性（補題 4.12）だけから導き、任意の複素の場で動かした配位が条件 (iv) を満たすという性質 (S) を使いません。第 3 部の微分の評価も同じ補題から得るので、(S) は本章と第 3 部のどの結論にも使いません（注意 4.8）。原論文が (3.31) で「明らか」とした最小配位の表示の Hölder 連続性も本章で証明します（補題 4.7）。
• 結論は、差が「低次の項（揺らぎ場の 4 次まで）の和」と「$(L^j\eta)^5e^{-\frac12\kappa d_j(X)}$ で抑えられる無関連な項の和」に分かれることです（定理 7.1）。低次の項は第 3 部で Ward–Takahashi 恒等式によって処理されます。

1. 動機

1.1. §3 は何をする節か

第 1 部で、$k+1$ 段目の有効作用は

$$A_{k+1}(W)=-\frac1{g_k^2}A(U_{k+1})+\mathbf E_k(U_{k+1})+\bigl[\log Z^{(k)}(U_{k+1})-\log Z^{(k)}(1)\bigr]+\log\mathbf N''^{-1}_k\int d\mu_{C^{(k)}}(B)\,\chi_k\,e^{\mathbf P^{(k)}+\lbrace\cdots\rbrace}$$

と書けることを示しました（命題 6.8［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）。積分の中の指数は 2 つの部分からなります。$\mathbf P^{(k)}$ は作用の明示的な項から来るもので、揺らぎ場 $B$ の解析関数として係数が $O(g_k)$ の小さい摂動です。もう 1 つの波括弧 $\lbrace\cdots\rbrace$ は、前の段までに作った局所化項 $\mathbf E^{(j)}$（$j=1,\dots,k$）を、背景場を揺らぎ場でずらした配位で評価した差です。

$\mathbf E^{(j)}$ は $j$ 段目の尺度で局所化された関数です。$j$ が $k$ より小さいほど、$\mathbf E^{(j)}$ は（$k$ 段目の単位で見て）細かい局所化領域 $X\in\mathbf D_j$ の和になっています。揺らぎ場 $B$ は $k$ 段目の単位格子の上の場で、$\mathbf E^{(j)}$ の局所化領域よりずっと粗い尺度でしか変化しません。この尺度のずれが、§3 の議論の要です。細かい尺度 $j$ の局所化項を、粗く緩やかな揺らぎで動かしたとき、

• 局所化領域 $X$ が揺らぎの立方体 $\square$ から遠いなら、最小配位の応答が指数減衰するので、寄与は $(L^j\eta)$ の任意の冪で小さい；
• $X$ が $\square$ の近くにあるなら、揺らぎは $X$ の上でほとんど定数に見えるので、揺らぎについて Taylor 展開でき、5 次以上の項は $(L^j\eta)^5$ を因子にもつ

という 2 つの事実を、解析関数の評価として厳密に示します。$(L^j\eta)^5$ は無関連の条件 $(L^j\eta)^{4+\alpha}$（定義 4.6［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）を $\alpha=1$ で満たします。残る 4 次までの項は、くりこみの本体（結合定数の流れ）に関わり、第 3 部の対象です。

1.2. なぜ解析接続が要るか

帰納的仮定（定義 5.11［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）は、$\mathbf E^{(j)}(X,\cdot)$ が複素配位の空間 $\mathfrak U^c_j(X,\alpha_0,\alpha_1)$ の上で解析的で $E_0e^{-\kappa d_j(X)}$ で抑えられることを要求します。実の配位での評価だけでは帰納法が回りません。次の段のクラスター展開（論文 II）で、補間パラメータや揺らぎ場を複素方向に動かして Cauchy 評価を使うからです。逆に、解析性があれば、微分の評価はすべて「関数の上界 ÷ 解析性の半径」で済みます。§3 の評価はこの原理の反復です。

困難は、揺らぎ場で動かした配位が本当に解析性の領域に入るかです。最小配位 $U_j$ は平均の解析関数ですが、その値が条件 (iv)（最小配位をもう一度作ったときの正則性）まで満たすことは自明ではありません。原論文はこれを Lemma 4 で示し、その証明は「細かい尺度の最小配位は、粗い尺度の最小配位を自分の平均で作り直したものに一致する」という一貫性に基づきます。本章 §6 はこの論証を補題の形に整理したものです。

1.3. 物理への含意

§3 の論法はゲージ群の構造をほとんど使いません。使うのは、(a) 平均操作と最小配位の解析性と指数減衰、(b) 局所化項のゲージ不変性、(c) 尺度のずれによる冪 $(L^j\eta)$ の利得です。したがって、可換群 $U(1)$ の場合（QED₄）にも同じ形で成り立ちます。QED₄ で問題になるのは §3 ではなく、第 3 部の低次の項から決まる β 関数の符号です（第 1 部の §1.3）。言い換えると、§3 は「くりこみ群の 1 段で生じる非局所性を、有限個の局所的な項（限界項・関連項）と無関連な剰余に分ける」という、模型によらない部分を担っています。

1.4. 本章の範囲と原論文との対応

原論文	本章
(3.1)(3.2)、1 の分割	定義 2.1、定義 2.2、補題 2.3
(3.3)(3.4)	命題 3.2、命題 3.3
(3.5)–(3.9)	定義 4.1、補題 4.2、補題 4.9
(3.10)–(3.14)	補題 4.10、補題 4.6、命題 4.11
(3.15)–(3.17)	補題 4.12、命題 4.13、命題 4.14
(3.18)–(3.25)	補題 5.2、補題 5.3
(3.26)–(3.32)	命題 5.4、補題 5.5、補題 5.7
(3.33)–(3.54)、Lemma 4	補題 6.1、補題 6.2、命題 6.4
§3 末の結論	定理 7.1

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