Dimock『Multiscale block averaging for QED₃』精読 第 2 部：多尺度 Dirac 伝播関数のランダムウォーク展開・ポリマー局所化・フェルミオン行列式

0. この記事の要点

電子の場の伝わり方を表す逆作用素が、ゲージ場が小さいときに存在し、遠くへ行くほど指数的に小さくなることを示す章です。これにより、行列式のように全体に効く量も、局所的な項の和に分けて扱えるようになります。

• 対象は Dimock の論文 §2.5〜§2.8 です。第 1 部で代数的に導いた多尺度 Dirac 伝播関数 $S_{k,\Omega}(A)=[D_A+\bar m_k+P_{k,\Omega}(A)]^{-1}_{\Omega_1}$ について、存在・指数減衰・ゲージ場についての解析性を示します。減衰の尺度は各領域 $\delta\Omega_j$ の平均の尺度 $L^{-(k-j)}$ で、減衰率は平均の係数 $b$ から来るので、走る質量 $\bar m_k$ がどれほど小さくても一様です（定理 7.2）。
• 論文はこの結果（Lemma 5・6）を Balaban–O’Carroll–Schor (1991) から引用し、証明の概略だけを書いています。本章はそれを、(i) 自由場の大域作用素の Fourier 解析（補題 5.3）、(ii) ゆらぎの作用素の実部の下界（命題 5.4）と単位格子の Combes–Thomas 評価（補題 4.3）、(iii) 局所逆とランダムウォーク展開、の 3 段で完全に証明します。
• (ii) は本章の簡略化の要です。Fourier 表示で $D_j(0)=(b_j^{-1}+Q_jG_jQ_j^{\mathsf T})^{-1}$ と書くと、Wilson 項のおかげで $G_j=(D+\bar m_j)^{-1}$ の実部が非負なので、$D_j(0)+bL^{-1}P$ の実部は一様な正の下界をもちます。これで原論文の (115)・(154)〜(157) の議論が 1 行になり、変形伝播関数でも $y$ に一様な評価が自動的に出ます。
• 局所逆には原論文の局所化した領域列 $\Omega(\square_0)$ の代わりに、「$A=0$ の大域作用素 ＋ 局所的な摂動」の逆を使います。これにより原論文の構成 (121)(122) の分離条件の不整合と、補題 9 の数え上げ (172) が細い殻の配置で破れる点を避けられます（注意 11.1）。
• フェルミオン行列式は対数の積分表示（補題 10.2）と第 1 部の Lemma 18 から $\delta Z_{k,\Omega^+}(A)=\exp\bigl(c\,4|\Omega^{(k)}_{k+1}|+\sum_XE^d(X,A)\bigr)$、$|E^d(X,A)|\le CM^3e^{-\kappa d_M(X)}$ と局所化されます（定理 10.3）。

1. 動機

1.1. 何のための評価か

Dimock の QED₃ の紫外安定性の計画では、Bałaban のくりこみ群を $k$ 段まで進めた後の有効作用が、ゲージ場の小場領域の減少列 $\Omega=(\Omega_1\supset\cdots\supset\Omega_k)$ に付随する多尺度の量で書かれます。第 1 部で見たとおり、フェルミオンを積分すると臨界点 $\psi_{k,\Omega}=H_{k,\Omega}(A)\Psi_{k,\Omega}$、作用 $\langle\bar\Psi,D_{k,\Omega}(A)\Psi\rangle$、ゆらぎの共分散 $S_{k,\Omega}(A)$、正規化因子 $\det S_{k,\Omega}(A)^{-1}$ が現れます。くりこみ群の次の段に進むには、これらが

1. 存在し（逆作用素が存在し）、
2. 指数的に減衰する核をもち（局所的な有効作用に展開できる）、
3. 複素化したゲージ場について解析的である（Cauchy 評価で微分を抑えられる）

ことが要ります。さらに行列式 $\det S^{-1}$ は体積に比例する大きさをもつので、その対数を局所的な項の和（ポリマー展開）に分けて、主要部（くりこみで吸収する定数）と小さい局所項に分けなければなりません。本章の Lemma 5〜10 はこの 3 点と行列式の展開を与えます。

1.2. なぜ難しいか

格子間隔 $\eta=L^{-k}$ の細かい格子では、Dirac 作用素のノルムは $\eta^{-1}$ 程度で、走る質量 $\bar m_k=L^{-(N-k)}\bar m$ は極めて小さくなり得ます。質量だけに頼った減衰（補題 5.1［格子 Dirac 作用素のスペクトル］ のような評価）は使えません。減衰を与えるのはブロック平均の項 $P_{k,\Omega}(A)$ で、これは尺度 $L^{-(k-j)}$ の立方体ごとの平均に重み $b_jL^{k-j}$ を掛けたものです。低い運動量では $P$ が「質量」の役割を果たし、高い運動量では Dirac 作用素自身が大きいので、両者を合わせて一様な逆の評価が得られる、というのが Balaban–O’Carroll–Schor (1989) の基本的な観察です。

ところが $P$ は平均の立方体ごとの作用素で並進不変ではなく、しかも多尺度の列 $\Omega$ では領域ごとに尺度が変わります。そこで (1) 1 つの尺度の大域作用素を Fourier 解析で調べ、(2) それを局所的な部品として貼り合わせ、(3) 貼り合わせの誤差を Neumann 級数（ランダムウォーク展開）で処理する、という 3 段の議論になります。ゲージ場 $A\ne0$ は、各立方体の近くでゲージ変換により小さくしてから摂動として扱います。

1.3. 前後の論文と物理への含意

フェルミオンのブロックくりこみ群は Balaban–O’Carroll–Schor の 2 本の論文（CMP 122 (1989)、J. Math. Phys. 32 (1991)）で整備されました。前者は自由場（$A=0$）の大域作用素の指数減衰を運動量空間で示し、後者は外場中の多尺度作用素へ拡張しました。Dimock は QED₃ の紫外安定性のために、まず有界な場の強さの近似で大域の解析を行い（Ultraviolet regularity for QED in d=3, 2018）、本論文で大場・小場の分割に伴う多尺度版を整え、続く論文（UV stability for QED in d=3, 2021）で紫外安定性を示しました。

物理的には、QED₃ は超繰り込み可能で紫外の問題は有限個の発散に限られますが、構成的に扱うにはフェルミオン行列式をゲージ場の解析的な関数として局所的に制御することが避けられません。本章の Lemma 10 はその中心で、4 次元の QED₄ や Yang–Mills–Dirac 系を同じ方法で扱うときにも、フェルミオン側の入力はこの形の評価になります（4 次元では結合定数の流れが対数的になる点が別の困難です）。

1.4. 本章の範囲と方針

原論文の主張（(92)(96)(97)、Lemma 5〜10、(110)〜(119)、(145)〜(150)、(179)〜(188)）はすべて証明します。原論文が「[24] を見よ」とした部分（Lemma 5・6 の大部分）は、上の 3 段で組み立て直しました。そのため一部の主張は形を整えています。違いは 注意 11.1 にまとめます。代数的な恒等式は第 1 部（第 1 部）を使い、記号も第 1 部に合わせます。

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