準備 5：3 次元の格子純ゲージ理論の紫外安定性と大場の扱い — Bałaban『Ultraviolet stability of three-dimensional lattice pure gauge field theories』(1985) の結果

0. この記事の要点

• T. Bałaban, “Ultraviolet stability of three-dimensional lattice pure gauge field theories”（Commun. Math. Phys. 102 (1985) 255–275）は、3 次元の格子純 Yang–Mills 理論（Wilson 作用、コンパクト半単純群）で、ブロック平均型のくりこみ変換を格子間隔 $\varepsilon$ から単位の尺度まで反復しても、得られる有効密度 $\rho_k$ が $\varepsilon$ によらない評価をもつこと（紫外安定性）を示しました。同じ著者の先行 6 論文（平均操作・正則配位・プロパゲータ・変分問題）の最初の応用で、原文自身が「非常に概略的」と断っています。
• 証明の骨格は 4 つです。(1) 各段でプラケット変数が閾値 $g_kp(g_k)$ を超える大場と超えない小場に 1 を分解し、小場の領域では最小作用の配位のまわりのガウス積分（鞍点法）を、大場の領域ではプラケットごとの小因子 $e^{-cp^2(g_k)}$ を使う。(2) 3 次元は超くりこみ可能なので結合定数 $g_k^2=g^2L^k\varepsilon$ は段ごとに $L$ 倍に増えるだけで、くりこみは真空エネルギーの定数 $E^{(k)}$ だけで済む。(3) 有効作用の局所項の 1 次の項は、群が**半単純**なので随伴作用の不変ベクトルが $0$ しかないことから消え、残る項はループ変数の 2 次以上で、各段で $L^{-4}$ 以下に縮む（無関連）。(4) 規格化因子 $\log\det$ は積分表示とランダムウォーク展開で局所項の和になる。
• 本章は原文の主張（Theorem 1・2 と、本文で主張される (6)(7)(8)(9)(10)(11)(13)–(22)(24)–(36)(41)–(47)(53)–(66)(68)–(71) の評価）を定理・命題・補題と定義に置き、証明を付けます。ただし、揺らぎの二次形式の作用素とそのレゾルベントが背景場に局所的に依存する項に展開できること（大場の領域があるときは、多層の領域の列の上の作用素についての主張）は、準備章にも本章にも証明がないので、仮定 (ME) として名前をつけます（定義 5.2）。また、揺らぎ積分の対数が、局所的で解析的・ゲージ不変な項の指数減衰する和に展開できること（ポリマー展開。原文が評価 (25) と 3 つの性質として「先行論文から従う」と述べる部分）も証明がないので、仮定 (PX) として名前をつけます（定義 5.5）。この 2 つを帰納的評価と主定理の文に明示します。したがって主定理は条件つきの主張です。さらに、有効作用の非局所項の減衰率が段を重ねても劣化しないためには、ブロックの大きさ $L$ が大きいことが要ります（尺度が $L$ 倍になることによる減衰率の回復が、脚の数と距離のとり方から来る損失を上回る必要がある。本章の定数では $L\ge211$。補題 5.6、注意 5.7）。原論文は $L$ に条件を置いていませんが、本章の主定理は $L\ge L_\times$（$L_\times\ge211$）と $3(1+\frac12\log L)^{r_0}\le L$ を仮定し、小さい $L$（$L=3$ など）については何も主張しません。主定理（定理 8.5）は、(ME)・(PX) と、この $L$ の条件、定数の条件（$2p_0\ge1+6r_0$、$R_1\ge(8L+10)R_{\mathrm v}$、トーラス $T^{(K)}$ の一辺が $7S_LR(g_K)M_1$ 以上、$g_K=g\varepsilon_0^{1/2}$ が小さいこと、ほか）のもとで、密度の下界 $\rho_k\ge\chi_k^-\exp[-g_k^{-2}A^\eta(U_k)-C\lvert T^{(k)}_1\rvert]$ と、分配関数の上下界 $e^{-C\lvert T^{(K)}_1\rvert}\le e^{-E}\int dU\,e^{-g_0^{-2}A(U)}\le e^{C\lvert T^{(K)}_1\rvert}$ を述べます（上界は各点の密度ではなく全質量の形）。背景場が各層でその層の閾値に比例する正則性をもつという評価 (68) は、原文では証明なしに述べられています。本章では、変分問題の章の「立方体ごとの正則性の改良」から「1 つのブロックのまわりでの 1 回分の正則性の改良」(LR) を導き（補題 4.7）、(LR) から (68) を証明します（命題 4.8）。局所項をループ変数で表すときに原文が使う「背景場は立方体の中の新しい配位だけで（指数的に小さい誤差を除いて）決まる」という事実も、原文は誤差の大きさを述べるだけなので、最小配位の局所性として証明します（補題 5.14）。線形代数・組合せ・群上の積分で閉じる部分は章内で完全に証明し、変分問題・プロパゲータ・ポリマー展開に依存する部分は同じテーマの準備章の定理を参照して、仮定と結論を明示した形で組み立てます。
• 原文との照合で直した点: 「Theorem 1 [16]」は最小配位の正則性ではなく紫外安定性そのもの（最小配位の正則性は p.258–259・p.267 の本文の主張）。大場の和は Sect. 3 の (3.42) ではなく Sect. D の (67)–(71)。(63) の対数行列式の積分表示は余分な項を含むので正しい形に直しました。(65) の真空エネルギーの評価には $\log g_k^{-1}$ が必要で、上界 (5) は全質量の形で証明します。$p_0$ と $r_0$ の間に条件 $2p_0\ge1+6r_0$ が要ります（局所項をループ変数で表す立方体が小場の領域からはみ出す項を誤差に回すので、大場の領域の近傍の体積が 2 回掛かります。注意 8.4）。各段の積分を小場の領域の内と外に分けるときは、原論文の規約（点の集合のボンドとは、少なくとも一端がその集合に属するボンド）に合わせて、小場の領域から外へ出るボンドと、境目の粗いボンドの δ 関数を、揺らぎ積分の側に入れます（定義 4.1、注意 7.5）。この分け方で積分は Fubini の定理によって厳密に分かれ、§4–§6 の評価はこの規約で証明します。

1. 動機

1.1. 何を示した論文か

格子ゲージ理論の連続極限を構成するには、格子間隔 $\varepsilon\to0$ で分配関数や相関関数が（適切な規格化のもとで）収束することを示す必要があります。その最初の関門が紫外安定性、すなわち規格化した分配関数が $\varepsilon$ によらない定数で上下から抑えられることです。スカラー場では、Glimm–Jaffe の位相空間セル展開や Benfatto らの多スケール展開がこれを 3 次元の $\phi^4$ で達成していました。ゲージ場では、場が群 $G$ に値をとるために「場を平均してスケールし直す」という Wilson のくりこみ群の操作がそのままでは定義できず、Bałaban は 1984–85 年の 6 本の論文で、ゲージ共変な平均操作、正則な配位の空間、背景場の中のプロパゲータ、平均を固定した作用の最小化問題を準備しました。本論文はその道具の「最初の、最も簡単な応用」です。

3 次元が「簡単」である理由は次元解析です。格子間隔 $\varepsilon$ の格子で Wilson 作用 $A^\varepsilon(U)=\sum_p\varepsilon^{d-4}[1-\operatorname{Re}\operatorname{tr}U(\partial p)]$ を使うと、単位格子に尺度を直したときの実効的な結合定数は $g_0^2=g^2\varepsilon^{4-d}$ で、$d=3$ では $g_0^2=g^2\varepsilon$ です。くりこみ変換を $k$ 回施して格子を $L^k$ 倍に粗くすると $g_k^2=g^2L^k\varepsilon$ になり、$L^K\varepsilon=\varepsilon_0$ となる最終段でも $g_K^2=g^2\varepsilon_0$ は小さいままです。このため、各段の揺らぎ積分は小さな $g_k$ の摂動論で 6 次まで計算すれば剰余は $g_k^7$ の冪で抑えられ、その総和は $\sum_k(L^k\varepsilon)^{\kappa_0}$ という収束する幾何級数になります。くりこみ（結合定数の補正）は不要で、発散する量は真空エネルギーの定数だけです。

1.2. 前後の論文との関係

本論文の記号と道具は次の先行論文から来ます（原論文の文献番号を括弧に入れます）。

道具	原論文での引用	本テーマの章
ゲージ共変な平均 $\overline U$、平均化されたプラケットの評価、δ 関数の線形化	[4] Proposition 1・3、(89)(124)	準備 1
正則配位、軸ゲージ、同じ平均をもつ配位の差（Lemma 1）	[6]	準備 2
背景場中のプロパゲータ、一般化ランダムウォーク展開	[5] Theorems 3.1–3.15、(3.108)(3.156)(3.183)(3.185)	準備 3
平均を固定した作用の最小配位、その局所座標、展開	[7] Theorem 1、Sect. C・F・G	準備 4（変分問題の章）

本論文の後、Bałaban は 4 次元の場合を “Renormalization group approach to lattice gauge field theories I・II”（1987–88）と “Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories”（1988）、大場の処理を “Large field renormalization I・II”（1989）で扱いました。4 次元ではループ変数の 2 次の項が各段で縮まない（周辺的）ため結合定数のくりこみが必要になり、大場の小因子も $\varepsilon$ の冪では出なくなります。本論文は、その複雑な議論から「何が 3 次元では不要か」を読み取る基準点になります。

1.3. 物理への含意

紫外安定性は連続極限の存在そのものではありませんが、分配関数の対数が体積に比例する $\varepsilon$ によらない評価をもつことは、自由エネルギー密度の有界性と、有効作用が局所的な項の和で書けることを意味します。可換理論（QED$_3$ など）では §5 の半単純性の議論がそのままでは使えず（例 5.11）、荷電共役対称性やフェルミオンの扱いで置き換える必要があります。後の Dimock による QED$_3$ の紫外安定性の証明は、この点を含めて本論文の構成を可換群とフェルミオンに移したものと読めます。

1.4. 本章の構成と読み方

§2 で記号を定め、§3 で大場・小場の 1 の分解、§4 で第 1 段（一般の段も同じ）のくりこみ変換の小場の積分を、ゲージ固定・平行移動・δ 関数の線形化・作用の展開の順に書き直します。§5 で摂動の項の局所化と、半単純性による 1 次の項の消滅、無関連な項の和の評価を、§6 で規格化因子の局所化を扱います。§7 で帰納的評価（原論文 Theorem 2）を、§8 で大場の小因子とその和、主定理（原論文 Theorem 1）を証明します。

原論文は先行論文の結果を「…から従う」と一言で引くことが多く、本章ではその箇所を、参照する定理の仮定と結論が噛み合う形に書き下します。参照先が同じテーマの準備章であるときは、その章の定理を <Ref> で指します。

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