Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 3 部：クラスター展開・正規化因子・再ブロック・スケール — 1 段の帰納の完結（Theorem 1 の証明）

0. この記事の要点

• くりこみ群の 1 段は「細かい揺らぎを積分して、粗い自由度だけの式に書き直す」操作です。本章は J. Dimock の論文 “Ultraviolet stability for QED in d=3”（Ann. Henri Poincaré 23 (2022) 2113–2205）の §3.12〜§3.15 を読み、第 1・2 部で途中まで進めた 1 段 $k\to k+1$ を最後まで運んで、密度の表示（Theorem 1）の帰納法を閉じます。
• 第 2 部の終わりで残った揺らぎ積分 $\Xi_{k,\Pi^+}$ は、測度が超局所（場所ごとに独立）なので、Mayer 展開 → 連結成分への因数分解 → Kotecký–Preiss 型の対数、という標準の手順で $\exp(E^\#_k(\Lambda_{k+1})+B^\#_{k,\Pi^+})$ と書けます（Lemma 15）。内部の項 $E^\#_k(X)$ は履歴（大場・小場の領域列）に依らないことが、流れの方程式が閉じるための鍵です。境界項 $B^\#$ は新しい小場領域 $\Lambda_{k+1}$ の境界をまたぐポリマーにしか現れません。
• 正規化行列式の $A$ 依存も同じ形 $\exp(E^{\det}_k+B^{\det}_{k,\Pi^+})$ に書きます（Lemma 16）。原論文の Cauchy 積分は「$A$ の複素数倍が解析性の領域に入る」ことを使いますが、実部が局所的にしかゲージで小さくならない場ではこれは成り立ちません。前篇の第 4 部と同じく、小さいポリマーの近くで局所的にゲージを固定し、トーラスが十分大きいという条件 (W) を付けて直します。後篇の停止点は (W) を満たします。
• $M$ 立方体のポリマーを $LM$ 立方体に再ブロックすると評価に $L^3$ がかかります（$\|(\mathcal BE)(Y)\|\le108K_0L^3Ce^{-L(\kappa-\kappa_0-1)d_{LM}(Y)}$）。スケールで領域・場・測度・特性関数を 1 段先の記号に戻すと、密度は $k+1$ での (6) の形になり、係数は流れの方程式に従います。評価 $\|E_{k+1}\|\le e_{k+1}^{1/4-7\epsilon}$ は再ブロックの粗い評価からではなく、関連部分を抽出したあとの縮小評価を使う流れの解（Proposition 1）から来ます。
• すべての定数は $L,M$ と固定した指数 $\kappa,\kappa_0,\epsilon$ にだけ依存し、段 $k$ と格子の細かさ $N$ に依らない（尺度に一様な）形で述べます。1 段の評価で正の裸質量 $\bar m>0$ は使いません（Dirac 伝播関数の減衰はブロック平均の係数 $b$ から来る）。
• Theorem 1 は、有効作用の格子対称性についての仮定 (SY-L) のもとでの主張です（注意 2.2）。原論文は断りなく使っています。もう 1 つ、多尺度の領域の列で Landau の展開の補助的な選択が規則どおりにとれること（仮定 (E-存在)。同注意）も、検証が済んでいないので仮定として明示します。本章が閉じるのは、この 2 つの仮定のもとでの帰納法です。以前の版が仮定としていた履歴からの独立性 (HI) は第 1 部で、ゲージ共変性と実数性は第 2 部で、荷電共役は第 2 部と本章（弱めた作用素を右と左の展開の平均でとり、ポリマーの部分和の不変性から導く。補題 3.7）で証明され、仮定ではなくなりました。一方、境界項の評価は、積分されずに残るゆらぎについて原論文より広い領域 $|\tilde Z_j|\le L^{(k-j)/2}e_j^{-\epsilon/4}$ で証明します（注意 2.1）。

1. 動機

1.1. この章が閉じるもの

格子の上の場の理論で「格子間隔を $0$ に近づけても分配関数が暴れない」ことを示すのが紫外安定性です。3 次元の QED（光子と電子の理論）について、Dimock はこれを 3 部作で示しました。第 1 篇（2020、本テーマの 第 1 篇の第 1 部 以下）が多尺度のブロック平均と伝播関数を用意し、前篇（2018、前篇の第 4 部 など）が「場がどこでも小さい」と仮定した近似のもとでくりこみ群の流れを解き、本論文が場の大きい領域（大場）を含めて 1 段を完結させ、最後に安定性 $\frac12\le Z(N,e)/Z(N,0)\le\frac32$ を証明します。

本論文の主定理の 1 つ目（Theorem 1）は、$k$ 段後の密度が、大場・小場の領域列 $\Pi$ についての和

$$\rho_k=\sum_\Pi\mathsf Z'_{k,\Omega}(0)\mathsf Z'_{k,\Omega}\int(\cdots)\,\mathcal C_{k,\Pi}\,\chi_k(\Lambda_k)\exp\Bigl(-\tfrac12\|d\mathcal A_{k,\Omega}\|^2-\mathcal S^+_{k,\Omega}+E_k(\Lambda_k)+B_{k,\Pi}\Bigr)$$

の形をもつ、という主張です（第 1 部の 定理 3.13［Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 1 部］）。証明は $k$ についての帰納法で、1 段 $k\to k+1$ は原論文 §3.1〜§3.15 にわたります。第 1 部が抽出・新しい特性関数・平行移動・揺らぎの超局所化を、第 2 部が有効作用の局所化を行い、残りが本章の 4 つの操作です。

1. クラスター展開（§3.12, Lemma 15）。揺らぎ積分を局所的な項の和の指数にする。
2. 正規化因子（§3.13, Lemma 16）。フェルミオン積分の正規化に残る行列式の $A$ 依存を局所化する。
3. 再ブロック（§3.14）。$M$ 立方体のポリマーを $LM$ 立方体のポリマーにまとめる。
4. スケール（§3.15）。格子を $L$ 倍に縮めて、記号を段 $k+1$ のものに戻す。

ここでポリマーとは $M$ 立方体（一辺 $M$ の立方体）を面でつないだ集合のことで、ポリマー関数 $E(X)$ は $X$ の中の場だけに依存する小さな関数です（ポリマー表示）。

1.2. 履歴に依らないこと

帰納法が閉じるためには、新しい有効作用 $E_{k+1}$ が流れの方程式

$$E_{k+1}=\mathcal L\bigl(E'_k+E^\#_k(m_k,E_k)+E^{\det}_k\bigr)$$

で前の段の $(m_k,E_k)$ だけから決まり、大場・小場の領域列 $\Pi$（履歴）に依らないことが必要です。そうであれば、流れは前篇の大域版と同じ方程式になり、その解（第 1 部の 命題 3.10［Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 1 部］）の評価 $\|E_k\|_k\le e_k^{1/4-7\epsilon}$ がそのまま使えます。本章のクラスター展開と行列式の展開は、新しい小場領域 $\Lambda_{k+1}$ に含まれるポリマー $X$ の項が履歴に依らず、残りの項が $\Lambda_{k+1}$ の境界をまたぐ境界項に集まる、という形で述べます。境界項はくりこみに参加せず、次の段からは大場の側で評価されるだけです。

1.3. 原論文との違い

原論文	内容	本章
Lemma 15 の証明	「標準的なクラスター展開」とし、評価の導出は省略	可換 Banach 代数値の Kotecký–Preiss の補題（減衰つき）を立て、Mayer 展開・超局所測度による因数分解・対数の評価をすべて書く。減衰率は $\kappa-5\kappa_0-8$ が出て、$\kappa_0\ge2$ なら原論文の $\kappa-6\kappa_0-6$ 以上
(376)	積分後の $H_t$ で減衰率が $\kappa_0+1$ 落ちる	確率測度と恒等共分散の積分はノルムを増やさないので減衰率は落ちない
Lemma 16, (388)	$A\in\tilde{\mathcal R}_{k,\Omega}$ なら $e_k^{-1/4}A\in\tilde{\mathfrak G}_{k,\Omega}$ として複素の $t$ で Cauchy 積分	実部 $A_0$ は局所的にしかゲージで小さくならないので、複素数倍は領域に入らない。小さいポリマーを含む箱で実のゲージ変換をしてから Cauchy 積分を使い、トーラスの大きさの条件 (W) を付ける（注意 4.1）。後篇の停止点は (W) を満たす（補題 4.2）
(391)	「[25] で示せる」	数え上げを証明する（補題 5.1）
(404)	流れの解として評価	再ブロックの粗い評価 (392) では足りないこと、評価は Proposition 1 の解から来ることを明記（注意 6.4）
§3.15 の箇条書き	各対象のスケールを列挙	領域のスケール（補題 6.2）とノルムのスケール（補題 6.1）を補題にし、境界項の評価 (406) を導く
(363)、(395)	揺らぎ積分の外の指数は $E'_k(\Lambda_k)+B_{k,\Pi}+B^{\star b}_{k,\Pi^+}$	抽出の境界項 $B^E_{k,\Pi}$ と、質量・真空エネルギーの対抗項のうち $\Lambda_k-\Lambda_{k+1}$ の上の部分 $E^{(5),0}_{k,\Pi^+}$（原論文にない）が別に現れる。どちらも新しい境界項に加える。後者の評価は流れの解の性質を使うので、一般の係数での評価と分けて述べる（補題 5.3）
(367)(405)、Theorem 1 の 2	境界項の解析性の領域は $\lvert\tilde Z_j\rvert\le L^{(k-j)/2}$	新しいゆらぎについての評価は $\lvert\tilde Z_k\rvert\le e_k^{-\epsilon/4}$ で示されるので、領域を $\lvert\tilde Z_j\rvert\le L^{(k-j)/2}e_j^{-\epsilon/4}$ に広げる（注意 2.1）。第 4 部の大場の評価に要る
Lemma 15 の 1、(403)	$E^\#_k$ は履歴に依らず、対称性をもつ（断りなし）	履歴からの独立性は第 1 部の補題（以前の仮定 (HI)）、ゲージ共変性と実数性は第 2 部の命題、荷電共役は 補題 3.7 による。格子対称性は仮定 (SY-L) として明示する（注意 2.2、補題 3.6）
Theorem 1 の 2	境界項は「$X$ の中の場だけに依存」	第 1 部の小場の切り落としの値と Jacobian の係数（外部パラメータ）を通して、$X$ と交わるか面で接する $R_j$ の立方体全体のゆらぎに依存する

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