Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)：部 1 — 大場を含む最初のくりこみ変換（§0–§1）

0. この記事の要点

格子の上の場を粗い格子の場に置き換える操作を 1 回行うとき、場が大きく暴れている場所を無視せずに積分を最後まで書き下すと、どんな式になるか。この記事はその 1 回目を具体的に計算し、場の小さい場所では以前の小場の計算がそのまま使え、場の大きい場所の影響はその場所の近くに閉じ込められることを確かめます。以下の「大場」は場が大きい場所、「小場」は小さい場所のことです。

• Bałaban の “Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories”（Commun. Math. Phys. 119 (1988) 243–285。RG I・II に続くシリーズの III）は、場の大きさに制限をつけない完全なくりこみ変換を扱い、有効密度が毎段同じ形の収束展開で書けることを示した論文です。本章はその §0（導入）と §1（最初のくりこみ変換、pp.245–254）を精読します。

• 大場のプラケット 1 枚が Wilson 作用 から受け取る小因子 $\exp(-c\,p_0(g_0)^2)$ を証明し、それが $d\lt4$ では格子間隔 $\varepsilon$ の任意の冪より小さいのに、$d=4$ では $\varepsilon$ のどんな正の冪より大きいことを示します。後者が、大場の領域の式そのものをくりこむ操作 $\mathsf R$ が 4 次元で必要になる理由です。

• 第 1 段の積分を、(1) プラケットの大小による 1 の分解、(2) 指数型の軸ゲージ固定（Faddeev–Popov）、(3) 近似的な揺らぎ場の大小による分解と小場領域 $\Omega_1$ の再和、(4) 境界つきの臨界点 $U_1(\Omega_1,V)$ のまわりの展開、(5) 揺らぎ場の大小による分解と最終の小場領域 $\Lambda_1$、(6) 特性関数を大場領域の変数だけに依存させる変数変換、(7) $\Lambda_1$ の上の条件付き Gauss 積分、(8) 結合定数の局所的なくりこみ、の順に変形し、第 1 段の表示 (1.28)–(1.30) を定理として証明します。

• 原論文が「容易」とした段を埋めました。とくに、(a) 平均が等しい 2 つの配位では、ブロックの境界をまたぐボンド $b_0(c)$ の値が他のボンドの値から一意に決まり差が抑えられること、(b) Federbush の群平均が引数について Lipschitz であること、(c) 大域的な最小配位を部分領域に制限すると部分問題の最小配位になること、を補題として証明し、それぞれ「$\Omega_1^{\sim}$ では小場の特性関数が 1」「(1.19) の第 2 因子は冗長」「(1.21) の局所化」の証明に使います。

• 原論文から 2 点を修正しました。$\Omega_1^{\sim}$ で落とせる特性関数は正確には「$b_0(c)$ の値が小さい枝にある」ことの指示関数に等しく、これは (1.15) で $\delta$ 関数を局所的に解く操作がちょうど実現します。また (1.22) の変数変換は、小場の特性関数 $\chi^{(0)}$ が関わるボンドではすべて切断関数つきの形にとらないと $\chi^{(0)}$ が変わってしまうので、その範囲を広げます。

• ボンドの読み方は原論文に合わせます。小場領域 $\Omega_1$ のボンドとは少なくとも一端が $\Omega_1$ に入るボンドで、$\Omega_1$ から外へ出るボンドも揺らぎ場の変数です。境界をまたぐ粗いボンドの平均の条件は、外へ出るボンドについて解かれます。変分問題の定理が領域列の分離と台の縁のデータに置く条件は、定数 $M_1$ の選び方と補題（補題 4.5）で確かめ、Gauss 積分の二次形式の正定値性は、外へ出るボンドを含む場について証明します（補題 9.1）。

1. 動機

1.1. 何を示した論文か

Bałaban の 4 次元格子ゲージ理論の紫外安定性の証明は、準備の論文群（平均操作・正則な配位・背景場中のプロパゲータ・変分問題・3 次元の紫外安定性）と、RG I・II・III、そして Large field renormalization I・II からなります。RG I（本テーマの RG I 第 1 部）と RG II は、積分を「場がどこでも小さい」領域に制限した近似で、有効作用 $A_k=-g_k^{-2}A(U_k)+\mathbf E_k(U_k)$ が局所化された収束展開で書け、結合定数が Callan–Symanzik 方程式の離散版に従って流れることを示しました。

III は初めてこの制限を外します。くりこみ変換は

$$(\mathsf T\rho)(V)=\int dU\,\delta(\bar UV^{-1})\,\rho(U)\qquad(0.1)$$

で、$U$ は細かい格子のゲージ場、$\bar U$ はその平均、$V$ は粗い格子の新しいゲージ場です。密度の列は $\rho_0=\exp[-g_0^{-2}A-E]$ から出発して $\rho_k=\mathsf R\mathsf T\rho_{k-1}=(\mathsf R\mathsf T)^k\rho_0$（(0.2)）と作られます。$\mathsf R$ は大場の領域の式を変える追加の操作です。III の主結果は「$\rho_k$ が §2 の帰納的仮定を満たせば $\mathsf T\rho_k$ も満たす」という定理で（p.245）、その仮定を一般の $k$ について明示するのが §2（本テーマの 部 2）、$\mathsf T$ がそれを保つことの証明が §3 です。§1 は、最初の 1 段を具体的に計算して、帰納的仮定の形がどこから来るかを見せる節です。

1.2. 3 次元と 4 次元の違い

大場のプラケット $p$（$\lvert U(\partial p)-1\rvert\ge g_0p_0(g_0)$、$p_0(g)=A_0(\log g^{-2})^{p_0}$）は、Wilson 作用から $\exp(-c\,p_0(g_0)^2)$ の小因子を受け取ります。3 次元では裸の結合定数が $g_0^2=g^2\varepsilon$ と格子間隔の冪で小さくなるので、この小因子は $\varepsilon$ の任意の冪より小さく、そのプラケットの周りで以後のすべての段に生じる式を抑えられます。これが 3 次元の紫外安定性の証明（本テーマの準備章 3 次元の紫外安定性）の骨格で、大場の領域は「放っておいて」よかったのです。4 次元では漸近的自由性のため $g_0^{-2}\approx a+b\log\varepsilon^{-1}$ で、小因子は $\exp(-c(\log\log\varepsilon^{-1})^{2p_0})$ 程度にしかならず、段数 $\log_L\varepsilon^{-1}$ のごく一部しか制御できません（命題 3.2）。大場の領域に生じた式を、何段かごとに小場の形に戻してくりこむ操作 $\mathsf R$ が必要になるのはこのためです。$\mathsf R$ は III では構成されず、帰納的仮定に組み込まれた性質だけが仮定されます（構成は Large field renormalization I・II）。

1.3. 物理への含意

III の §1 の手順（大小の 1 の分解、小場領域での揺らぎ場積分、境界項の分離）は、その後の格子ゲージ理論の多段解析の標準形になりました。Dimock による 3 次元 QED の多段解析も、領域列 $\Omega_1\supset\Lambda_1\supset\Omega_2\supset\cdots$ と、大場の領域での特性関数の局所化をこの形で行います。QED₄ のように β 関数の符号が逆の理論では、結合定数が紫外で小さくならないので、4 次元の大場の小因子がさらに弱くなり、この枠組みでの紫外極限の構成は見込めません。それでも §1 の個々の操作（ゲージ固定、境界つきの最小配位、局所化）はゲージ群によらず通用します。

1.4. 本章の範囲と原論文との対応

原論文	本章
§0 (0.1)(0.2)、p.244 の不等式	定義 2.1、補題 3.1、命題 3.2
(1.1)–(1.4)、Proposition 1 [12] の適用	定義 4.2、補題 4.3、補題 4.4
(1.5)–(1.7)	命題 4.6
p.247 の Lemma 1 [14] の適用、(1.8)–(1.11)	補題 5.2、定義 5.4、補題 5.6、補題 5.8
(1.12)–(1.17)	命題 6.3、命題 6.6、命題 6.8
(1.18)–(1.20)	定義 7.1、補題 7.2、補題 7.3
(1.21)–(1.25)	命題 8.1、命題 8.2、補題 8.3
(1.26)–(1.30)	命題 9.2、命題 9.3、定理 9.4

RG I・II の結果は本テーマの RG I・II の章、Bałaban の準備の論文の結果は準備章（平均操作・正則な配位・プロパゲータ・変分問題・3 次元の紫外安定性）から引きます。原論文はこれらを [I]・[II]・[12]–[16] と呼びます。

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