Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 4 部：最終段の積分と紫外安定性定理 — 大場の領域和の収束と小場の比の評価

0. この記事の要点

• 細かい格子の上の電子と光子の理論で、格子を細かくしても「相互作用ありとなしの分配関数の比」が $\frac12$ と $\frac32$ の間にとどまることを、最後の一歩まで示す章です。くりこみ群を何段も施したあと、残った小さな格子の上で全部を積分し、場が大きい部分と小さい部分の寄与を別々に評価します。
• 停止点 $K$ は $L^{N-K}=Mr_K$ となる最初の段で、最後のトーラスはちょうど 1 個の $Mr_K$ 立方体です。$N-K$ は $N$ によらず有界です（Lemma 17）。トーラスが最初からこれより小さい場合（$L^N\le Mr_0$）は原論文が扱っていないので、直接の評価で補います。
• 大場の寄与 $Z^{\mathcal L}$ は $|Z^{\mathcal L}|\le|Z(N,0)|\,e_K$ です（Lemma 25）。各段で新しく生じた大場の立方体 1 個あたり $e^{-p_{0,j}}$（$p_{0,j}=(-\log e_j)^{p_0}$）の利得があり、費用は大場の領域の体積に比例して $\exp(C\sum_j|\Lambda^{(j),c}_j|)$、すなわち立方体あたり $e^{C(Mr_j)^3}$ です。3 次元では立方体の点の数が $(Mr_j)^{3}$ なので、$d$ 次元に読み替えれば利得 $p_{0,j}$ 対費用 $(Mr_j)^d$ の勝負です。大場の芽は以後の段で領域を広げ続けるので、費用は段の差 $K-j$ に比例して積もりますが、$K-j\le 2\log e_j^{-1}/\log L$ なので $p_0\ge4r+2$ で利得が勝ちます。
• 凍結したフェルミオンの費用は尺度によらない（Lemma 19）：重み $L^{K-j}$、係数 $b_jL^{K-j}$、点の測度 $L^{-3(K-j)}$ が打ち消し、大場の点 1 個あたりの費用は $b_j$ 程度の定数です。正の裸質量 $\bar m>0$ を使うのは最終段の自由行列式 $\det C_K(0)$ の評価（Lemma 22）だけで、各段の伝播関数の減衰はブロック平均の係数 $b$ から来ます。
• 小場の寄与 $Z^{\mathcal S}$ は $Z(N,0)(1+O(e_K^{1/4-8\epsilon}))$ です（Lemma 26・27）。合わせて $Z(N,e)/Z(N,0)=1+O(e^{1/4-8\epsilon})$ が $N$ に一様に成り立ち、Theorem 2 が出ます。
• 主定理は仮定つきです（§2.2）。本章が新しく加える仮定はありません。原論文が扱っていない「境界項の評価 (40) を大場のゆらぎ場の実際の大きさまで使えること」は、以前の版では仮定（(仮定 B)）でしたが、本章で証明します（補題 4.4、経緯は 注意 4.7）。残る仮定は、Theorem 1 が引き継ぐ 2 つ、すなわち有効作用の格子対称性についての仮定 (SY-L) と、多尺度の領域の列で Landau の展開の補助的な選択が規則どおりにとれるという仮定 (E-存在) です（荷電共役についての以前の仮定 (SY-C) は、第 2・3 部で証明されました）。したがって本章の主定理（紫外安定性）は、(SY-L) と (E-存在) のもとでの主張です。第 1 段の大場の領域 $\Omega_1^c$ の場の正規化についての以前の仮定は第 1 篇第 4 部の正則性定理の局所版によって、履歴からの独立性についての以前の仮定 (HI) は第 1 部の補題によって、不要になりました。
• 原論文から直した点：大場の和の評価で「新しい大場の立方体を古い大場の領域のすぐ近くに置いた場合」の扱い（第 1 部の特性関数の挿入範囲の変更に対応）、最終トーラスでの Cauchy 積分を大域的な実ゲージ変換で正当化したこと（トーロン条件を使う）、Lemma 22 の下界の係数、$p_{0,j}\ge2p_{0,j+1}$ の誤り、小さいトーラスの場合（§1.3）。

1. 動機

1.1. この章で何をするか

ある量が、物差しの目盛りをどれだけ細かくしても有限にとどまるか。場の理論の紫外安定性はこの問いです。第 1〜3 部で、密度 $\rho_k$ がくりこみ群の $k$ 段後にも「大場と小場の領域の履歴 $\Pi$ についての和」の形 (6) を保つこと（Theorem 1、第 3 部 定理 7.1［Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 3 部］）を示しました。この章はその最後の段で、もう平均をとる余地がなくなった停止点 $K$ で密度をそのまま積分し、分配関数の比を評価します。

最終トーラスは 1 個の $Mr_K$ 立方体なので、最後の小場領域 $\Lambda_K$ は「全体」か「空」のどちらかです。$\Lambda_K$ が全体になるのは、それまでどの段でも大場が生じなかった 1 項だけで、これが小場の寄与 $Z^{\mathcal S}$ です。残りの項の和が大場の寄与 $Z^{\mathcal L}$ です。

1.2. Bałaban 流の大場の処理

大場（場の強さが閾値 $p_k$ を超える立方体）は、作用を摂動展開できない場所です。Bałaban の方法では、大場の立方体ごとに特性関数 $\zeta$ が「その立方体のどこかで場が大きい」ことを課し、これが Gauss 型の重みと組み合わさって立方体あたり $e^{-p}$ 程度の小さな因子を生みます（Lemma 23）。一方、大場の領域では有効作用の展開ができないので、フェルミオン積分・正規化因子・ゲージ場の積分をすべて粗く評価し、領域の体積に比例する費用 $e^{C|\text{体積}|}$ を払います（Lemma 19〜21・24）。

この章の核心は、利得と費用の勘定です。

量	段 $j$ で生じた大場の立方体 1 個あたり	出所
利得	$\exp(-p_{0,j})$（$p_{0,j}=(-\log e_j)^{p_0}$）	命題 5.3
費用（1 段分）	$\exp(C(Mr_{j'})^3)$ を各段 $j'\ge j$ で	補題 5.6
費用の合計	$\exp(C(K-j+1)(Mr_j)^3)\le\exp(C'(-\log e_j)^{3r+1})$	補題 5.7

$e_j=L^{-\frac12(N-j)}e$ は超くりこみ可能性のために段とともに指数的に変わるので、$K-j$ は $\log e_j^{-1}$ で押さえられ、利得 $p_{0,j}$ が冪 $p_0$ で勝ちます。4 次元のヤン・ミルズ理論では結合定数が対数でしか走らず、大場に残るゲージ作用の係数の食い違いが段の差に比例して積もるため、この直接の勘定では足りず、Bałaban は大場の作用をくりこみ直す操作（R 操作、Large field renormalization I・II）を導入しました。QED₃ はその操作が要らない、フェルミオンを含むゲージ理論での完全な先例です。

1.3. 原論文との違い

箇所	原論文	本章
§4.1	$N$ が十分大きいとして停止点の存在を示す	$L^N\le Mr_0$ のときは停止点がない。この場合を 命題 6.3 で直接評価する
Lemma 17	停止点が一意	$L^{N-k}=Mr_k$ となる $k$ は連続した区間をなし一意とは限らない。最初のものをとる
(480)	$P_{k+1}\subset\Lambda_k^{5\natural}$ を使う	第 1 部は新しい特性関数を $\Lambda_k$ のすべての立方体に入れた（第 1 部 注意 5.3［Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 1 部］）。古い大場の近くの立方体からは利得をとらず、組合せの費用として数える（注意 5.4）
(492)	$p_{0,j}\ge2p_{0,j+1}$	誤り（比は $1$ に近づく）。$p_{0,j-1}\ge p_{0,j}$ で足りる
(500)	領域の和は Bałaban Higgs III を引用	大場の芽の成長を追う補題で自前に証明（補題 5.6、補題 5.7）。$p_0\ge4r+2$ を明示
Lemma 22	$\lvert(f,(D_0+\bar m_K)f)\rvert\ge\frac12\eta\bar m_K\lVert f\rVert^2$	正しくは $\mathrm{Re}(f,(D_0+\bar m_K)f)\ge\bar m_K\lVert f\rVert^2$（Wilson 項は非負）。行列式は固有値で評価
Lemma 26	$\mathcal A\in e_K^{3/4-4\epsilon}\tilde{\mathcal R}_K$ の複素数倍で Cauchy 積分	実部の大きい場では複素数倍が領域に入らない（第 3 部 注意 4.1［Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 3 部］ と同じ問題）。最終トーラスでトーロン条件を使い、大域的な実ゲージ変換で場を一様に小さくしてから使う（補題 2.7）
Lemma 18・20	Jacobian $L^{\pm\lvert X\rvert}$	Grassmann 生成元は 1 点あたり 8 個なので $L^{\pm8\lvert X\rvert}$。評価には影響しない
Lemma 19 の B	境界項の評価 (40) を積分領域のすべての $(A,Z)$ で使う	原論文の (40) の領域 $\lvert\tilde Z_j\rvert\le L^{(K-j)/2}$ は大場のゆらぎを含まない。(40) を広い領域 $\lvert\tilde Z_j\rvert\le L^{(K-j)/2}e_j^{-\epsilon/4}$ で示し（第 2・3 部）、特性関数の台の上でゆらぎがそこに入ることを証明する（補題 4.4）
(473)〜(476)	局所列の最小化元を $\Omega_1(\square)$ の中の場の強さで評価	正則性定理の正規化は第 $0$ 層（立方体の遠くの場）を含む。遠くの場を切り落とした場に取り替えてから使う（命題 5.3 の証明）
Lemma 23 の $\zeta'$・$\zeta^\dagger$	すべてのボンドで判定	第 1 部に合わせ、面の中心のボンドを除いて判定。利得の数え方は変わらない
Lemma 27 の (523)	$\sqrt2$ の冪は $(Mr_K)^3$ 以下	変数の数 $3(Mr_K)^3$ から $2^{\frac32(Mr_K)^3}\le e^{2(Mr_K)^3}$

ここから先は有料（買い切り ¥200）の内容です。

この章は博士課程以上・研究水準の内容です。続き（定義・定理・証明・例・演習）は ¥200 の買い切りで、他の有料章と 100 本ノックも含めてすべて読めます。無料の章は最後まで読めます。

購入する ログイン