# Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 4 部：最終段の積分と紫外安定性定理 — 大場の領域和の収束と小場の比の評価 > Dimock の QED₃ 紫外安定性論文の §4 と付録 D を精読する。停止点で密度を積分し、大場の寄与が立方体あたりの利得で体積の費用に勝って Z(N,0)e_K 以下になること、小場の比が 1+O(e_K^{1/4-8ε}) であることを示し、安定性定理を、前の部から引き継ぐ 2 つの仮定（有効作用の格子対称性と、展開の補助的な選択が多尺度でも規則どおりにとれること）のもとで証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/physics/gauge-rg-papers/dimock-qed3-uv-stability-part-4 ## 0. この記事の要点 - 細かい格子の上の電子と光子の理論で、格子を細かくしても「相互作用ありとなしの分配関数の比」が $\frac12$ と $\frac32$ の間にとどまることを、最後の一歩まで示す章です。くりこみ群を何段も施したあと、残った小さな格子の上で全部を積分し、場が大きい部分と小さい部分の寄与を別々に評価します。 - 停止点 $K$ は $L^{N-K}=Mr_K$ となる最初の段で、最後のトーラスはちょうど 1 個の $Mr_K$ 立方体です。$N-K$ は $N$ によらず有界です（Lemma 17）。トーラスが最初からこれより小さい場合（$L^N\le Mr_0$）は原論文が扱っていないので、直接の評価で補います。 - **大場の寄与** $Z^{\mathcal L}$ は $|Z^{\mathcal L}|\le|Z(N,0)|\,e_K$ です（Lemma 25）。各段で新しく生じた大場の立方体 1 個あたり $e^{-p_{0,j}}$（$p_{0,j}=(-\log e_j)^{p_0}$）の利得があり、費用は大場の領域の体積に比例して $\exp(C\sum_j|\Lambda^{(j),c}_j|)$、すなわち立方体あたり $e^{C(Mr_j)^3}$ です。3 次元では立方体の点の数が $(Mr_j)^{3}$ なので、$d$ 次元に読み替えれば利得 $p_{0,j}$ 対費用 $(Mr_j)^d$ の勝負です。大場の芽は以後の段で領域を広げ続けるので、費用は段の差 $K-j$ に比例して積もりますが、$K-j\le 2\log e_j^{-1}/\log L$ なので $p_0\ge4r+2$ で利得が勝ちます。 - **凍結したフェルミオンの費用は尺度によらない**（Lemma 19）：重み $L^{K-j}$、係数 $b_jL^{K-j}$、点の測度 $L^{-3(K-j)}$ が打ち消し、大場の点 1 個あたりの費用は $b_j$ 程度の定数です。**正の裸質量 $\bar m>0$ を使うのは最終段の自由行列式 $\det C_K(0)$ の評価（Lemma 22）だけ**で、各段の伝播関数の減衰はブロック平均の係数 $b$ から来ます。 - **小場の寄与** $Z^{\mathcal S}$ は $Z(N,0)(1+O(e_K^{1/4-8\epsilon}))$ です（Lemma 26・27）。合わせて $Z(N,e)/Z(N,0)=1+O(e^{1/4-8\epsilon})$ が $N$ に一様に成り立ち、Theorem 2 が出ます。 - 主定理は仮定つきです（§2.2）。本章が新しく加える仮定はありません。原論文が扱っていない「境界項の評価 (40) を大場のゆらぎ場の実際の大きさまで使えること」は、以前の版では仮定（(仮定 B)）でしたが、本章で証明します（、経緯は ）。残る仮定は、Theorem 1 が引き継ぐ 2 つ、すなわち有効作用の格子対称性についての仮定 (SY-L) と、多尺度の領域の列で Landau の展開の補助的な選択が規則どおりにとれるという仮定 (E-存在) です（荷電共役についての以前の仮定 (SY-C) は、第 2・3 部で証明されました）。したがって本章の主定理（紫外安定性）は、(SY-L) と (E-存在) のもとでの主張です。第 1 段の大場の領域 $\Omega_1^c$ の場の正規化についての以前の仮定は第 1 篇第 4 部の正則性定理の局所版によって、履歴からの独立性についての以前の仮定 (HI) は第 1 部の補題によって、不要になりました。 - 原論文から直した点：大場の和の評価で「新しい大場の立方体を古い大場の領域のすぐ近くに置いた場合」の扱い（第 1 部の特性関数の挿入範囲の変更に対応）、最終トーラスでの Cauchy 積分を大域的な実ゲージ変換で正当化したこと（トーロン条件を使う）、Lemma 22 の下界の係数、$p_{0,j}\ge2p_{0,j+1}$ の誤り、小さいトーラスの場合（§1.3）。 ## 1. 動機 ### 1.1. この章で何をするか ある量が、物差しの目盛りをどれだけ細かくしても有限にとどまるか。場の理論の紫外安定性はこの問いです。第 1〜3 部で、密度 $\rho_k$ がくりこみ群の $k$ 段後にも「大場と小場の領域の履歴 $\Pi$ についての和」の形 (6) を保つこと（Theorem 1、第 3 部 ）を示しました。この章はその最後の段で、もう平均をとる余地がなくなった停止点 $K$ で密度をそのまま積分し、分配関数の比を評価します。 最終トーラスは 1 個の $Mr_K$ 立方体なので、最後の小場領域 $\Lambda_K$ は「全体」か「空」のどちらかです。$\Lambda_K$ が全体になるのは、それまでどの段でも大場が生じなかった 1 項だけで、これが小場の寄与 $Z^{\mathcal S}$ です。残りの項の和が大場の寄与 $Z^{\mathcal L}$ です。 ### 1.2. Bałaban 流の大場の処理 大場（場の強さが閾値 $p_k$ を超える立方体）は、作用を摂動展開できない場所です。Bałaban の方法では、大場の立方体ごとに特性関数 $\zeta$ が「その立方体のどこかで場が大きい」ことを課し、これが Gauss 型の重みと組み合わさって立方体あたり $e^{-p}$ 程度の小さな因子を生みます（Lemma 23）。一方、大場の領域では有効作用の展開ができないので、フェルミオン積分・正規化因子・ゲージ場の積分をすべて粗く評価し、領域の体積に比例する費用 $e^{C|\text{体積}|}$ を払います（Lemma 19〜21・24）。 この章の核心は、利得と費用の勘定です。 | 量 | 段 $j$ で生じた大場の立方体 1 個あたり | 出所 | |---|---|---| | 利得 | $\exp(-p_{0,j})$（$p_{0,j}=(-\log e_j)^{p_0}$） | | | 費用（1 段分） | $\exp(C(Mr_{j'})^3)$ を各段 $j'\ge j$ で | | | 費用の合計 | $\exp(C(K-j+1)(Mr_j)^3)\le\exp(C'(-\log e_j)^{3r+1})$ | | $e_j=L^{-\frac12(N-j)}e$ は超くりこみ可能性のために段とともに指数的に変わるので、$K-j$ は $\log e_j^{-1}$ で押さえられ、利得 $p_{0,j}$ が冪 $p_0$ で勝ちます。4 次元のヤン・ミルズ理論では結合定数が対数でしか走らず、大場に残るゲージ作用の係数の食い違いが段の差に比例して積もるため、この直接の勘定では足りず、Bałaban は大場の作用をくりこみ直す操作（R 操作、[Large field renormalization I・II](/physics/gauge-rg-papers/balaban-large-field-2-part-1)）を導入しました。QED₃ はその操作が要らない、フェルミオンを含むゲージ理論での完全な先例です。 ### 1.3. 原論文との違い | 箇所 | 原論文 | 本章 | |---|---|---| | §4.1 | $N$ が十分大きいとして停止点の存在を示す | $L^N\le Mr_0$ のときは停止点がない。この場合を で直接評価する | | Lemma 17 | 停止点が一意 | $L^{N-k}=Mr_k$ となる $k$ は連続した区間をなし一意とは限らない。最初のものをとる | | (480) | $P_{k+1}\subset\Lambda_k^{5\natural}$ を使う | 第 1 部は新しい特性関数を $\Lambda_k$ のすべての立方体に入れた（第 1 部 ）。古い大場の近くの立方体からは利得をとらず、組合せの費用として数える（） | | (492) | $p_{0,j}\ge2p_{0,j+1}$ | 誤り（比は $1$ に近づく）。$p_{0,j-1}\ge p_{0,j}$ で足りる | | (500) | 領域の和は Bałaban Higgs III を引用 | 大場の芽の成長を追う補題で自前に証明（、）。$p_0\ge4r+2$ を明示 | | Lemma 22 | $\lvert(f,(D_0+\bar m_K)f)\rvert\ge\frac12\eta\bar m_K\lVert f\rVert^2$ | 正しくは $\mathrm{Re}(f,(D_0+\bar m_K)f)\ge\bar m_K\lVert f\rVert^2$（Wilson 項は非負）。行列式は固有値で評価 | | Lemma 26 | $\mathcal A\in e_K^{3/4-4\epsilon}\tilde{\mathcal R}_K$ の複素数倍で Cauchy 積分 | 実部の大きい場では複素数倍が領域に入らない（第 3 部 と同じ問題）。最終トーラスでトーロン条件を使い、大域的な実ゲージ変換で場を一様に小さくしてから使う（） | | Lemma 18・20 | Jacobian $L^{\pm\lvert X\rvert}$ | Grassmann 生成元は 1 点あたり 8 個なので $L^{\pm8\lvert X\rvert}$。評価には影響しない | | Lemma 19 の B | 境界項の評価 (40) を積分領域のすべての $(A,Z)$ で使う | 原論文の (40) の領域 $\lvert\tilde Z_j\rvert\le L^{(K-j)/2}$ は大場のゆらぎを含まない。(40) を広い領域 $\lvert\tilde Z_j\rvert\le L^{(K-j)/2}e_j^{-\epsilon/4}$ で示し（第 2・3 部）、特性関数の台の上でゆらぎがそこに入ることを証明する（） | | (473)〜(476) | 局所列の最小化元を $\Omega_1(\square)$ の中の場の強さで評価 | 正則性定理の正規化は第 $0$ 層（立方体の遠くの場）を含む。遠くの場を切り落とした場に取り替えてから使う（ の証明） | | Lemma 23 の $\zeta'$・$\zeta^\dagger$ | すべてのボンドで判定 | 第 1 部に合わせ、面の中心のボンドを除いて判定。利得の数え方は変わらない | | Lemma 27 の (523) | $\sqrt2$ の冪は $(Mr_K)^3$ 以下 | 変数の数 $3(Mr_K)^3$ から $2^{\frac32(Mr_K)^3}\le e^{2(Mr_K)^3}$ | （この章の続きは購入者向けです。）