準備 3 の 3：背景場つきプロパゲータの 2 階差分と Hölder 評価、局所化された逆作用素、二次形式の一様な下界 — Bałaban (CMP 95・96・99) の補完

0. この記事の要点

• 格子の上の「逆行列」が、格子を細かくしても同じ定数で抑えられ、遠くの影響が指数的に小さく、局所的な部品の積の和に書ける — 準備 3 の部 1・部 2 はこれを示しました。本章は、そこで扱い切れなかった評価と、後の章が仮定として借りていた 3 つの事実を証明して、穴を埋めます。
• 2 階差分と Laplacian: プロパゲータ $G$ について $\|\nabla\nabla GJ\|\le C\|J\|$（CMP 95 の Proposition 1.1）、その局所版（CMP 95 (1.114)、CMP 96 (2.140)、CMP 99 (3.46)）と $|\Delta G|$ の各点評価を、離散の $H^2$ 恒等式と箱の上の Caccioppoli 型の評価から証明します（定理 3.1、定理 3.2、命題 3.4）。
• 背景場つきの Hölder 評価（CMP 99 (3.43)–(3.45)）と大域の重みつき評価 (3.47) を、背景場の正則性 (Reg1) の局所的なゲージで方程式を平らな Laplacian の摂動に書き直して示します（定理 4.2、系 4.4）。
• 局所化された逆作用素: 近似逆作用素と局所的な逆の貼り合わせから逆作用素の局所化された展開を作る一般論（命題 5.3）を置き、部 1 で概略だった $G_0$ の展開（定理 6.1）と、RG II の入力 (C3) のレゾルベント $(x+\mathcal A)^{-1}$ の展開（定理 7.1）を証明します。
• 流れを独立な変数にしたプロパゲータ: くりこみ群の論文は、Wilson 作用の勾配 $J$ を配位と無関係な変数 $\mathbf J$ に替え、配位には 1 階の条件だけを課した空間でプロパゲータの解析性を使います。その作用素を定義し、展開と評価を $|\mathbf J|$ の大きさだけから証明します（定義 6.8、補題 6.10）。
• 二次形式の一様な下界: 揺らぎ場の二次形式 $C^*\Delta^{(k)}C$ が体積と段数によらない正の下界をもつこと（RG I・II・III が仮定した入力 (C2)）を、軸ゲージへの分解、指数型のゲージ固定項、部 1 の軸ゲージの下界から証明します（定理 8.5）。あわせて単位格子の共分散の表示 (3.185) を「ゲージの切り口の取り替え」として導きます（定理 9.2）。
• 領域つきの版: 背景場が領域 Ω の近くでしか正則でなく、揺らぎ場が Ω のボンドの上だけにある場合（RG III の第 1 段）の下界を、第 0 段について証明します（定理 8.9、系 8.10）。定数は次元・ブロックの大きさ・群だけで決まり、体積にも Ω の形にもよりません。揺らぎ場が Ω から外へ出るボンドの上にもある場合（原論文のボンドの規約）も、同じ定数で示します（定理 8.13、系 8.14）。

1. 動機

1.1. 何が欠けていたか

場の量子論を格子で作るとき、各段のガウス積分の共分散（プロパゲータ）が「良い逆行列」であることがすべての評価の土台になります。プロパゲータの具体的な形は部 1 の基本の作用素の定義にあります。良い、とは、(i) 大きさと減衰が格子間隔によらないこと、(ii) 遠くの配位に弱くしか依存しないこと、(iii) 正定値性が一様であること、の 3 つです。

T. Bałaban のプロパゲータの 3 論文（CMP 95、96 (1984)、99 (1985)）はこれらを示しました。準備 3 の部 1 背景場中のプロパゲータ と部 2 自由場の一様評価 は大部分を証明しましたが、監査で次の不足が残りました。

1. $\ell^2$ の 2 階差分の評価と $|\Delta G|$ の各点評価が定理に入っていない。
2. 背景場つきの Hölder 評価 (3.43)–(3.45) と大域の重みつき評価 (3.47) が範囲外とされた（部 1 の 注意 6.4［準備 3］）。
3. 部 1 の 定理 6.3［準備 3］ の 6 のうち、$G_0$ の局所化された展開は概略だった。単位格子の共分散の表示 (3.185) の導出も未収録だった。

さらに、くりこみ群の論文を読む章が、次の 2 つを仮定として借りていました。

4. (C2) 揺らぎ場の二次形式 $C^*\Delta^{(k)}C$ の一様な正の下界。RG I の第 1 部 命題 6.8［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］、RG III の第 1 部の仮定 (P)、RG II の第 2 部 定義 4.5［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部］ の (C2)。
5. (C3) レゾルベント $(x+\mathcal A)^{-1}$（$0\le x\le\gamma_1$）の局所化された展開。RG II が原論文の言う「(3.185) [13] の $\tilde G_2$ を $\tilde G_3(x)$ に替えた表示」に委ねた部分。

本章はこの 5 つを証明します。

1.2. 物理への含意

4 次元 Yang–Mills 理論の紫外安定性の証明は、各段の揺らぎの積分を「局所化された項の和」に書き、体積に比例する評価を得ることに帰着します。項の局所化はプロパゲータの局所化された展開から、ガウス積分の存在と規格化は二次形式の一様な下界から来ます。したがって (C2)(C3) が欠けると、RG I の小場の変換は「仮定つきの定理」にとどまります。QED$_4$ のような可換の理論でも、大場の領域の近くでは非自明な背景場のまわりの多スケールのプロパゲータが現れるので、本章の評価はそのまま使えます。可換の場合は $R(U)$ が恒等写像になり、§3–§4 の摂動の項はさらに簡単になります。

1.3. 原論文との対応

原論文	本章
CMP 95 Prop. 1.1 (1.89)(1.90)	定理 3.1
CMP 95 (1.114)、CMP 96 (2.140)、CMP 99 (3.46)、Thm 3.3	定理 3.2
CMP 95 (1.110)、CMP 96 (2.136)、CMP 99 (3.42) の $\Delta G$	命題 3.4
CMP 99 Thm 3.12 の Laplacian の除外	補題 3.3、注意 3.5
CMP 99 (3.40)(3.43)–(3.45)、Thm 3.3	定義 4.1、定理 4.2
CMP 99 (3.47)	系 4.4
CMP 99 (3.35)(3.36) と (Reg2)	注意 4.6
CMP 99 Thm 3.10 と pp.414–415 の打ち消し	定理 6.1
RG I (1.8)–(1.14)、(3.12) の後、RG II §1 の「$\mathbf U,\mathbf J$ についての解析性」（流れを独立な変数にしたプロパゲータ）	定義 6.6、定義 6.8、補題 6.10、系 6.11、注意 6.13
RG II (2.7) の前提（[13] (3.185) の変種）	定理 7.1、系 7.2
CMP 99 (3.156)、RG I (2.11)、RG III (1.16) の正定値性	定理 8.5、系 8.6
CMP 99 p.428 の Dirichlet 境界条件つきの下界（$k=0$）、RG III (1.16) の正定値性	補題 8.8、定理 8.9、系 8.10
CMP 99 (3.155)–(3.186)	補題 8.1、命題 9.1、定理 9.2

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