Dimock『Multiscale block averaging for QED₃』(2020) 第 3 部：ゲージ場の多尺度軸ゲージ平均・Landau ゲージ・最小化元

0. この記事の要点

電磁場（ゲージ場）をブロックごとに平均していくとき、ゲージの自由度をどう固定すれば積分が意味をもち、扱いやすい代表が 1 つに決まるかを、有限次元の線形代数だけで確かめる章です。評価は次の部で行います。

• 対象は J. Dimock の論文 “Multiscale block averaging for QED in d=3” の §3.1〜§3.6（Lemma 11〜15）です。ゲージ場 $A$ をブロック平均して尺度を上げていくとき、小場の領域だけを段ごとに平均する「多尺度」の設定で、密度・最小化元・ゆらぎの共分散・ゲージの選び方を整えます。ここに評価は無く、すべて有限次元の線形代数です。
• ブロック平均 $Q$ と面平均 $Q^s$・辺平均 $Q^e$ の恒等式 $dQ_k=Q_kd$、$dQ_k=Q^{(2)}_kd$、$Q_kQ^{s,T}_k=I$、$dQ_k^T=Q^{s,T}_kd$、$dQ^{s,T}_k=Q^{e,T}_kd$ を、線積分・面積分で書いた定義から証明します（命題 3.2）。
• 多尺度の密度は、もとの密度を「多尺度の平均の値」と「階層的な軸ゲージ条件」で制限した積分として閉じた形に書けます（Lemma 11、補題 5.4）。デルタ関数はアフィン部分空間上の Lebesgue 積分として定義し、その合成則を補題として証明します。
• 制約面の上で $\|dA\|^2$ は正定値です（補題 4.7）。ここから軸ゲージの最小化元 $\mathcal A^x_{k,\Omega}$、Green 関数 $G^x_{k,\Omega}$、制約つき Gauss 積分の表示（Balaban–Imbrie–Jaffe の Prop. A.3）、次の段の恒等式 $[\mathcal A^x_{k+1,\Omega^+}]_L=\mathcal A^{0,x}_{k+1,\Omega^+}$、ゆらぎの共分散 $C_{k,\Omega^+}$ が出ます。ゆらぎの 2 次形式の下界は $L$ だけで決まります（補題 7.1）。
• 制限ゲージ変換の軌道ごとに、軸ゲージと Landau ゲージの代表元がちょうど 1 つずつあります（Lemma 13・14）。Bałaban の射影の表示 $R_{k,\Omega}=I-GQ^T(QG^2Q^T)^{-1}QG$ と恒等式 $R\delta GdR=R$、$QGdR=0$ を証明し、Landau ゲージの最小化元の公式 $\mathcal A_{k,\Omega}=GQ^T(QGQ^T)^{-1}A_{k,\Omega}$ を導きます（定理 9.4）。
• 原論文との違いは 2 点です。Lemma 12 の証明で特解として使われる $Q^{s,T}_{k,\Omega}A_{k,\Omega}$ は、尺度の境目をまたぐボンドで平均の制約を満たさないことがあるので、別の特解 $Q^\sharp_{k,\Omega}$ に取り替えます（最小化元そのものは変わりません）。また Landau 条件の射影は $\Omega_1$ 上の Dirichlet 型の空間で考えます（射影の表示 (271) と整合する読み方です）。

1. 動機

3 次元の量子電磁力学（QED₃）を格子で正則化し、格子間隔 $\epsilon=L^{-N}\to0$ で分配関数の比 $Z(N,e)/Z(N,0)$ が $N$ によらない上下界を持つこと（紫外安定性）を示すのが、Dimock の一連の論文の目標です。方法は Bałaban の繰り込み群で、ブロック平均をとって尺度を $L$ 倍に縮める変換を繰り返し、各段で場が小さい領域（小場）と大きい領域（大場）に分けます。小場の領域では平均をさらに進め、大場の領域では平均を止めます。$k$ 段後には、外側ほど細かい尺度の場が残る「多尺度」の場 $A_{k,\Omega}=(A_0,A_1,\dots,A_k)$ が現れます。

フェルミオンについては論文の §2（本テーマの第 1 部・第 2 部）で扱われ、本記事はゲージ場の側です。ゲージ場には特有の問題が 2 つあります。

1. ゲージ不変性: 密度 $e^{-\frac12\|dA\|^2}$ は $A\mapsto A+d\lambda$ で変わらないので、そのままでは積分が発散します。平均をとるたびに、そのブロックの中だけでゲージを固定する（軸ゲージ $\tau A=0$）ことで、各段の積分を正定値の Gauss 積分にします。
2. 紫外での正則性: 軸ゲージの最小化元は正値性には向いていますが、局所的な滑らかさが悪い。最小化元を評価するには、同じ軌道上の Landau ゲージの代表元に移るのが有利です。Bałaban（Commun. Math. Phys. 95・96）はこの 2 つのゲージの関係を整えました。

本記事では、この 2 つを多尺度の設定で証明します。続く第 4 部では、ここで得た Landau ゲージの最小化元の公式から、ランダムウォーク展開による評価と局所正則性の定理（論文の Theorem 1）を導きます。そこでの定数は $L$ だけで決まり、段数 $k$ や領域の列 $\Omega$ にはよりません。それが繰り込み群を $N$ 段繰り返しても評価が崩れない理由です。物理的には、QED₃ は超繰り込み可能で自明でない連続極限を持つと期待されるモデルであり、ここで使う多尺度のゲージ固定と最小化元の扱いは、4 次元の非可換ゲージ理論での Bałaban の構成の可換版になっています。

原論文の該当箇所は全 4 頁ほどで、「One can show」「[6] を見よ」で飛ばされた段（制約面での正定値性、制約つき Gauss 積分、射影の表示 (271)、恒等式 (275)）が多くあります。本記事ではそれらをすべて章内で証明します。

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