Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 4 部：揺らぎ積分のクラスター展開・行列式の局所化・スケール — 主定理の完結と繰り込み流の境界値問題（裸の質量と真空エネルギーの調整）

0. この記事の要点

• くりこみ群の 1 段は「細かい自由度を積分して粗い自由度だけの式に書き直す」操作です。本章は、J. Dimock の論文 “Ultraviolet regularity for QED in d=3”（J. Math. Phys. 59 (2018) 012301）の最後の部分 §6.2.6〜§7 と付録 E を読み、その 1 段を完結させたうえで、無限に続く段の全体で「裸のパラメータ」をどう選ぶかを決めます。
• ゆらぎ積分 $\Xi_k$ は、ゲージ場のゆらぎに上限を課す特性関数を含むので、そのままでは独立な小部分の積に分けられません。Bałaban にならい、(i) Mayer 展開（指数関数を $e^{E}=1+(e^{E}-1)$ と書いて積を展開すること）、(ii) 特性関数の補集合側の展開、(iii) Gauss 積分の条件付け（付録 E の Lemma 33）、(iv) 再和したランダムウォーク展開による弱め、(v)(vi) 複素の弱めパラメータでの評価と Cauchy 評価、(vii) クラスター展開、の 7 段で $\Xi_k=\exp(-\varepsilon^0_k\mathrm{Vol}+\sum_XE^\#_k(X))$ を示します（Theorem 2）。原論文で定義が書かれていない定数 $\varepsilon^0_k$ は、特性関数の積分そのものの対数として定義し、$e_k$ のどんな冪よりも小さいことを示します。
• フェルミオン行列式の比 $\delta Z_k(A)/\delta Z_k(0)$ をポリマー関数（$M$ 立方体の連結な和ごとに局所化された関数）の和の指数に書き（Lemma 24）、再ブロックとスケールで 1 段の主定理（第 3 部の Theorem 1）の証明を閉じます。$E^\#_k$ を質量 $m$ と前の段のポリマー関数 $E$ の正則関数として扱えることも、原論文が断言だけで済ませた部分を補って証明します。
• 流れの方程式 $m_{k+1}=L(m_k+m(E_k))$、$E_{k+1}=\mathcal L(\mathcal RE_k+E^{\det}_k+E^\#_k(m_k,E_k))$ を、始点 $E_0=0$ と終点 $m_K=0$ の混合境界条件のもとで縮小写像により解きます。後篇（Ultraviolet stability）でもそのまま使えるよう、仮定を「抽出の評価・縮小評価・$E^{\det}$ と $E^*$ の評価と解析性」だけにした抽象定理として述べ、停止点 $K$ は任意にとれる形にします。
• 流れの定理（Theorem 3）に残る条件は、パラメータの大小（$L$、$M$ が大きく $e$ が小さい）と、停止点でトーラスが十分大きいという条件 (W) だけです。原論文が確認を省いた有効作用の対称性（ゲージ・格子の平行移動と符号行列・荷電共役・複素共役）は、第 3 部と本章で証明します。
• 帰結として、裸の質量と真空エネルギーを格子間隔に依存させて選べば、巨視的な尺度の有効質量と真空エネルギーを指定した値にできます。これが Dimock のいう非摂動的くりこみで、裸のパラメータが $N\to\infty$ で収束するかどうか（くりこみが有限か）を決めずに済む点に特徴があります。

1. 動機

1.1. 何を解く章か

物理の理論を格子の上で定義すると、格子間隔を $0$ に近づけたときに、作用に書き込んだパラメータ（裸の質量など）と、遠くから見た理論のパラメータ（観測される質量など）がずれていきます。そのずれを打ち消すように裸のパラメータを選ぶことがくりこみです。摂動論では各次数の補正を計算して打ち消しますが、構成的場の理論では、補正を計算する代わりに「打ち消しが可能である」ことを不動点定理で示します。

3 次元の格子 QED（量子電磁力学）では、Dimock の 3 部作の第 1 篇がこれを行いました。本テーマの第 1〜3 部で、くりこみ群の 1 段が密度の形

$$\rho_k=N_k\mathsf Z_kZ_k(0)\exp\Bigl(-\tfrac12\|d\mathcal A_k\|^2-\mathcal S_k-m_k\langle\bar\psi_k,\psi_k\rangle-\varepsilon_k\mathrm{Vol}+E_k\Bigr)$$

を保ち、係数が流れの方程式に従うこと（第 3 部の 定理 3.1［Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 3 部］）を、前半の段（抽出・平行移動・局所化）まで証明しました。本章はその後半と、流れの方程式の解法を扱います。

1.2. 1 段の後半：ゆらぎ積分の指数化

第 3 部の終わりで、1 段の積分は「ゲージ場のゆらぎ $\tilde Z$ とフェルミオンのゆらぎ $W'$ の Gauss 積分」

$$\Xi_k=\int\hat\chi_k(\mathcal C\tilde Z)\exp\Bigl(\sum_XE^{(\le5)}_k(X)\Bigr)\,d\mu_{C_k}(\tilde Z)\,d\mu_I(W')$$

に帰着しました。$E^{(\le5)}_k(X)$ はポリマー $X$ に局所化された小さい関数です。もし測度が場所ごとに独立（超局所）なら、Mayer 展開とクラスター展開の標準的な手順（クラスター展開）で $\Xi_k$ を局所的な項の和の指数に書けます。フェルミオンの測度 $d\mu_I$ はすでに超局所ですが、ゲージ場の共分散 $C_k$ は指数減衰するだけで超局所ではありません。$\tilde Z=C_k^{1/2}Z'$ と変数変換すると測度は超局所になりますが、今度は特性関数 $\hat\chi_k$（ゆらぎの大きさに上限 $p_{0,k}$ を課す）が非局所になります。原論文はこの困難を、Bałaban が導入した条件付けで回避します。ポリマー $Y$ を固定し、$Y$ の外の値で条件付けると、$Y$ の中の積分は $Y$ だけの共分散 $C_k(Y)$ をもつ Gauss 積分になり、外側の積分だけを超局所にできます。

1.3. 流れの境界値問題

1 段の主定理は、係数の流れ

$$\varepsilon_{k+1}=L^3\bigl(\varepsilon_k+\varepsilon(E_k)+\varepsilon^0_k\bigr),\quad m_{k+1}=L\bigl(m_k+m(E_k)\bigr),\quad E_{k+1}=\mathcal L\bigl(\mathcal RE_k+E^{\det}_k+E^\#_k(m_k,E_k)\bigr)$$

を与えます。質量 $m_k$ は 1 段ごとに $L$ 倍、真空エネルギー $\varepsilon_k$ は $L^3$ 倍に増える関連（relevant）な方向で、ポリマー関数 $E_k$ は抽出後に $L^{-1/4+2\epsilon}$ 倍に縮む非関連な方向です（第 2 部の縮小評価）。始点 $k=0$ から前向きに解くと、関連な方向の小さな誤差は $L^K$ 倍に増幅されます。そこで、非関連な $E$ は始点で、関連な $m,\varepsilon$ は終点で値を指定し、後ろ向きには縮む $m$ の写像と前向きには縮む $E$ の写像を組み合わせて縮小写像を作ります。図 1 に境界条件の向きを示します。

図 1. 流れの混合境界値問題。ポリマー関数 E は始点で 0 に固定して前向きに、質量 m と真空エネルギー ε は終点で 0 に固定して後ろ向きに解く。どちらの向きにも写像が縮むので、組にした写像 T が縮小写像になる。

1.4. 原論文との違い

箇所	原論文	本章
Theorem 2 (497)	減衰率 $\kappa-10\kappa_0-10$、左辺は $\hat E^\#_k$	証明の結論 (571) と使い方 (586) に合わせ $c_1$ つきで述べる。各段の損失を数え直し、減衰率を $\kappa_1=c_1(\kappa-7\kappa_0-12)-\kappa_0-2$ とする（注意 3.11）
$\varepsilon^0_k$	(474) から (582) で定義なしに現れる	$\varepsilon^0_k=-\mathrm{Vol}^{-1}\log\int\hat\chi_k\,d\mu_{C_k}$ と定義し評価する
(505)(516)	$K'(X)$ を連結な $X$ と同じに評価	連結成分ごとの積として評価し、和を組合せで処理する
(569)(571)	「標準公式」[25] を引くだけ	可換 Banach 代数値の Kotecký–Preiss を本章で証明する
(574)(580)	複素の $t$ で $tA$ が解析性の領域に入るとして Cauchy 積分	$\tilde{\mathcal R}_k$ は複素の倍率で閉じていないので、局所的なゲージ固定のあとで Cauchy 積分を使う。評価 (574) はトーラスを一周するポリマーで成り立たないことがあり、トーラスが $\log e_k^{-1}$ に比べて十分大きいという条件 (W) を付ける（注意 4.1）
(571) の後の対称性	「straightforward だがやや tedious」。荷電共役は $\mathsf C^{-1}\Gamma_k(-A)\mathsf C=\Gamma_k(A)^{\mathsf T}$ を挙げるだけ	ゲージ・格子（平行移動と符号行列）・複素共役は項ごとに、荷電共役は「弱めを右と左の展開の平均でとる」「ポリマーの部分和の不変性から包除原理で項ごとの不変性を出す」ことで証明する（補題 3.9、注意 3.10）。行列式の項は $A\to-A$ について対称化する。座標を入れ替える格子対称性は主張しない
Theorem 3	停止点 $K=N-m$	停止点は (W) を満たす任意の $K\le K_0$（後篇の停止点は (W) を満たす）
(606)	$E^*_k$ の解析性を断言だけ	構成の各段から証明する
§7	$K=N-m$、開集合 $\mathsf B_1$ で不動点定理	任意の停止点 $K\le K_0$、閉球で不動点定理を使う（開球は完備でない）

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