# Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 4 部：揺らぎ積分のクラスター展開・行列式の局所化・スケール — 主定理の完結と繰り込み流の境界値問題（裸の質量と真空エネルギーの調整） > Dimock の QED₃ 論文 §6.2.6〜§7 と付録 E を精読する。条件付けによるゆらぎ積分のクラスター展開、行列式の比の局所化、スケールで 1 段を完結させ、流れの方程式の混合境界値問題を縮小写像で解く抽象定理を証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/physics/gauge-rg-papers/dimock-qed3-uv-regularity-part-4 ## 0. この記事の要点 - くりこみ群の 1 段は「細かい自由度を積分して粗い自由度だけの式に書き直す」操作です。本章は、J. Dimock の論文 "Ultraviolet regularity for QED in d=3"（J. Math. Phys. 59 (2018) 012301）の最後の部分 §6.2.6〜§7 と付録 E を読み、その 1 段を完結させたうえで、無限に続く段の全体で「裸のパラメータ」をどう選ぶかを決めます。 - ゆらぎ積分 $\Xi_k$ は、ゲージ場のゆらぎに上限を課す特性関数を含むので、そのままでは独立な小部分の積に分けられません。Bałaban にならい、(i) Mayer 展開（指数関数を $e^{E}=1+(e^{E}-1)$ と書いて積を展開すること）、(ii) 特性関数の補集合側の展開、(iii) Gauss 積分の**条件付け**（付録 E の Lemma 33）、(iv) 再和したランダムウォーク展開による弱め、(v)(vi) 複素の弱めパラメータでの評価と Cauchy 評価、(vii) [クラスター展開](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#prop-formal-cluster-expansion)、の 7 段で $\Xi_k=\exp(-\varepsilon^0_k\mathrm{Vol}+\sum_XE^\#_k(X))$ を示します（Theorem 2）。原論文で定義が書かれていない定数 $\varepsilon^0_k$ は、特性関数の積分そのものの対数として定義し、$e_k$ のどんな冪よりも小さいことを示します。 - フェルミオン行列式の比 $\delta Z_k(A)/\delta Z_k(0)$ を[ポリマー関数](/physics/gauge-rg-papers/dimock-qed3-uv-regularity-part-2#def-polymer-function)（$M$ 立方体の連結な和ごとに局所化された関数）の和の指数に書き（Lemma 24）、再ブロックとスケールで 1 段の主定理（第 3 部の Theorem 1）の証明を閉じます。$E^\#_k$ を質量 $m$ と前の段のポリマー関数 $E$ の**正則関数**として扱えることも、原論文が断言だけで済ませた部分を補って証明します。 - 流れの方程式 $m_{k+1}=L(m_k+m(E_k))$、$E_{k+1}=\mathcal L(\mathcal RE_k+E^{\det}_k+E^\#_k(m_k,E_k))$ を、始点 $E_0=0$ と終点 $m_K=0$ の**混合境界条件**のもとで[縮小写像](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#thm-banach-fixed-point)により解きます。後篇（Ultraviolet stability）でもそのまま使えるよう、仮定を「抽出の評価・縮小評価・$E^{\det}$ と $E^*$ の評価と解析性」だけにした抽象定理として述べ、停止点 $K$ は任意にとれる形にします。 - 流れの定理（Theorem 3）に残る条件は、パラメータの大小（$L$、$M$ が大きく $e$ が小さい）と、停止点でトーラスが十分大きいという条件 (W) だけです。原論文が確認を省いた有効作用の対称性（ゲージ・格子の平行移動と符号行列・荷電共役・複素共役）は、第 3 部と本章で証明します。 - 帰結として、裸の質量と真空エネルギーを格子間隔に依存させて選べば、巨視的な尺度の有効質量と真空エネルギーを指定した値にできます。これが Dimock のいう非摂動的くりこみで、裸のパラメータが $N\to\infty$ で収束するかどうか（くりこみが有限か）を決めずに済む点に特徴があります。 ## 1. 動機 ### 1.1. 何を解く章か 物理の理論を格子の上で定義すると、格子間隔を $0$ に近づけたときに、作用に書き込んだパラメータ（裸の質量など）と、遠くから見た理論のパラメータ（観測される質量など）がずれていきます。そのずれを打ち消すように裸のパラメータを選ぶことが**くりこみ**です。摂動論では各次数の補正を計算して打ち消しますが、構成的場の理論では、補正を計算する代わりに「打ち消しが可能である」ことを不動点定理で示します。 3 次元の格子 QED（量子電磁力学）では、Dimock の 3 部作の第 1 篇がこれを行いました。本テーマの第 1〜3 部で、くりこみ群の 1 段が密度の形 $$ \rho_k=N_k\mathsf Z_kZ_k(0)\exp\Bigl(-\tfrac12\|d\mathcal A_k\|^2-\mathcal S_k-m_k\langle\bar\psi_k,\psi_k\rangle-\varepsilon_k\mathrm{Vol}+E_k\Bigr) $$ を保ち、係数が流れの方程式に従うこと（第 3 部の ）を、前半の段（抽出・平行移動・局所化）まで証明しました。本章はその後半と、流れの方程式の解法を扱います。 ### 1.2. 1 段の後半：ゆらぎ積分の指数化 第 3 部の終わりで、1 段の積分は「ゲージ場のゆらぎ $\tilde Z$ とフェルミオンのゆらぎ $W'$ の Gauss 積分」 $$ \Xi_k=\int\hat\chi_k(\mathcal C\tilde Z)\exp\Bigl(\sum_XE^{(\le5)}_k(X)\Bigr)\,d\mu_{C_k}(\tilde Z)\,d\mu_I(W') $$ に帰着しました。$E^{(\le5)}_k(X)$ はポリマー $X$ に局所化された小さい関数です。もし測度が場所ごとに独立（超局所）なら、Mayer 展開とクラスター展開の標準的な手順（[クラスター展開](/physics/constructive-qft/cluster-expansion)）で $\Xi_k$ を局所的な項の和の指数に書けます。フェルミオンの測度 $d\mu_I$ はすでに超局所ですが、ゲージ場の共分散 $C_k$ は指数減衰するだけで超局所ではありません。$\tilde Z=C_k^{1/2}Z'$ と変数変換すると測度は超局所になりますが、今度は特性関数 $\hat\chi_k$（ゆらぎの大きさに上限 $p_{0,k}$ を課す）が非局所になります。原論文はこの困難を、Bałaban が導入した**条件付け**で回避します。ポリマー $Y$ を固定し、$Y$ の外の値で条件付けると、$Y$ の中の積分は $Y$ だけの共分散 $C_k(Y)$ をもつ Gauss 積分になり、外側の積分だけを超局所にできます。 ### 1.3. 流れの境界値問題 1 段の主定理は、係数の流れ $$ \varepsilon_{k+1}=L^3\bigl(\varepsilon_k+\varepsilon(E_k)+\varepsilon^0_k\bigr),\quad m_{k+1}=L\bigl(m_k+m(E_k)\bigr),\quad E_{k+1}=\mathcal L\bigl(\mathcal RE_k+E^{\det}_k+E^\#_k(m_k,E_k)\bigr) $$ を与えます。質量 $m_k$ は 1 段ごとに $L$ 倍、真空エネルギー $\varepsilon_k$ は $L^3$ 倍に増える**関連**（relevant）な方向で、ポリマー関数 $E_k$ は抽出後に $L^{-1/4+2\epsilon}$ 倍に縮む**非関連**な方向です（第 2 部の縮小評価）。始点 $k=0$ から前向きに解くと、関連な方向の小さな誤差は $L^K$ 倍に増幅されます。そこで、非関連な $E$ は始点で、関連な $m,\varepsilon$ は終点で値を指定し、後ろ向きには縮む $m$ の写像と前向きには縮む $E$ の写像を組み合わせて縮小写像を作ります。図 1 に境界条件の向きを示します。
0 1 k K−1 K E：E₀ = 0 から前向き（1 段で約 L⁻¹ᐟ⁴ 倍に縮む） m, ε：m_K = ε_K = 0 から後ろ向き（L⁻¹ 倍、L⁻³ 倍に縮む）
### 1.4. 原論文との違い | 箇所 | 原論文 | 本章 | |---|---|---| | Theorem 2 (497) | 減衰率 $\kappa-10\kappa_0-10$、左辺は $\hat E^\#_k$ | 証明の結論 (571) と使い方 (586) に合わせ $c_1$ つきで述べる。各段の損失を数え直し、減衰率を $\kappa_1=c_1(\kappa-7\kappa_0-12)-\kappa_0-2$ とする（） | | $\varepsilon^0_k$ | (474) から (582) で定義なしに現れる | $\varepsilon^0_k=-\mathrm{Vol}^{-1}\log\int\hat\chi_k\,d\mu_{C_k}$ と定義し評価する | | (505)(516) | $K'(X)$ を連結な $X$ と同じに評価 | 連結成分ごとの積として評価し、和を組合せで処理する | | (569)(571) | 「標準公式」[25] を引くだけ | 可換 Banach 代数値の Kotecký–Preiss を本章で証明する | | (574)(580) | 複素の $t$ で $tA$ が解析性の領域に入るとして Cauchy 積分 | $\tilde{\mathcal R}_k$ は複素の倍率で閉じていないので、局所的なゲージ固定のあとで Cauchy 積分を使う。評価 (574) はトーラスを一周するポリマーで成り立たないことがあり、トーラスが $\log e_k^{-1}$ に比べて十分大きいという条件 (W) を付ける（） | | (571) の後の対称性 | 「straightforward だがやや tedious」。荷電共役は $\mathsf C^{-1}\Gamma_k(-A)\mathsf C=\Gamma_k(A)^{\mathsf T}$ を挙げるだけ | ゲージ・格子（平行移動と符号行列）・複素共役は項ごとに、荷電共役は「弱めを右と左の展開の平均でとる」「ポリマーの部分和の不変性から包除原理で項ごとの不変性を出す」ことで証明する（、）。行列式の項は $A\to-A$ について対称化する。座標を入れ替える格子対称性は主張しない | | Theorem 3 | 停止点 $K=N-m$ | 停止点は (W) を満たす任意の $K\le K_0$（後篇の停止点は (W) を満たす） | | (606) | $E^*_k$ の解析性を断言だけ | 構成の各段から証明する | | §7 | $K=N-m$、開集合 $\mathsf B_1$ で不動点定理 | 任意の停止点 $K\le K_0$、閉球で不動点定理を使う（開球は完備でない） | （この章の続きは購入者向けです。）