Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部：解析延長と正値性、残りの作用の再展開と局所化、R の完成形

0. この記事の要点

前の部で、大場の成分での比の危険な項が相殺されました。この章は、残った有効作用を新しい背景場のまわりで再展開し、各項を局所的な領域に押し込めて、距離とともに指数的に小さくなる形に整える章です。

• 第 1 部で、大場の成分 $Z$ に対する R′ の比の分子と分母の Wilson 項（$g_k^{-2}$ が掛かる危険な項）が相殺され、分子に「新しい Wilson 作用」と「$\zeta_1$ の層に残った Wilson 項」が残ることを見ました。本章（原論文 p.366–379、式 (1.38)–(1.72)）は、残った項を複素配置に解析延長しても、正の Wilson 作用に小さい項を足した形が保たれること（(1.48)）から始めます。
• そのための道具が、軸ゲージでの解析的な因子分解 $V_\Lambda(M^k(\mathbf U))=V'_\Lambda(\widetilde M^k(U'))V_\Lambda(M^k(U))$（(1.38)）です。$V'_\Lambda$ は臨界点方程式 (1.40) の一意解として縮小写像で作られ、$|B'_\Lambda|\le 4d(100M)^5\gamma_0^{-1}B_3^2|\widetilde B'|$ を満たします。
• 相殺の途中で生まれた項（分母の $I(U_0)$ を含む）はすべて有界で、$Z$ の近くの背景場にだけ依存します。これを境界項 $C_k$ にまとめたのが等式 (1.49) です。
• 残りの有効作用は、新しい背景場 $\overline U_k$ のまわりに 4 段（(1.51)(1.54)(1.57)(1.58)）で再展開し、局所化します。局所化の要は伝播関数の恒等式 $G''_kQ^*=0$ と、臨界性から出る $J_1=Q^*_{\mathfrak B_1}H^*_{\mathfrak B_1}J_1$ です。
• 局所化した項を領域ごとに再和すると、相対線形サイズ $d_{k,Z}(Y)$（$Y\setminus Z$ の立方体だけを結ぶ最短の木の長さ）で指数減衰する項 $V(Y)$ が得られます（(1.68)(1.69)）。最後に小場の成分から $\chi_{k,\Lambda}\chi$ と $\delta$ 関数を外し（逆 Faddeev–Popov）、操作 $\mathsf T'_k(X)$（(1.71)）と R の完成形（(1.72)）を定義します。
• 原論文の誤植（(1.66) の $\kappa$ の脱落、式番号 (1.161)）と、議論が粗い箇所（$C_k$ の「小ささ」）を注意で正しい形に直し、原論文が証明なしに使っている指数因子の抽出の幾何的な前提（条件 (G)）を、(1.66) の因子を正しい形 (1.66′) に直したうえで補題として証明します。

1. 動機

Bałaban の 4 次元非可換格子ゲージ理論の繰り込み群は、有効密度 $\rho_k$ を「小場の領域では摂動論的に制御された有効作用、大場の領域では小さい因子」という形に保つ帰納法です。大場の扱いの中心が操作 R で、前論文 [IV]（Large field renormalization I）がその基本段 R′ を、本論文が残りの操作（相殺、局所化、指数化）と評価を与えます。本論文の結論が Theorem 1（有効結合が十分小さければ $\rho_k$ は [III] §2 の形と全評価を満たす）で、帰結として紫外安定性 $e^{-E_-|T_\eta|}\le\int\chi e^{-\mathcal A(U_k)}\le\rho_k\le e^{E_+|T_\eta|}$ が従います。これは 4 次元の非可換ゲージ理論で、格子間隔に一様な紫外安定性の評価を与えた代表的な結果です。ただし Theorem 1 は「有効結合が全段で小さい」ことを仮定しており、この仮定を外すための 2 次の摂動計算（[I] の Theorem 2）は未公刊です（第 1 部 注意 3.2［Bałaban『Large field renormalization II』精読 第 1 部］）。

大場の成分 $Z$ で R′ が作るのは、分子と分母がともに $\exp(-g_k^{-2}\mathcal A(\cdots))$ を含む比です。$g_k^{-2}$ は大きいので、分子と分母の Wilson 項を正確に相殺しないと評価が壊れます。第 1 部では臨界配置 $U_0$ を使ってこの相殺を行い、分子に

1. 新しい有効作用の Wilson 項 $-\mathcal A(1/(g_k(\cdot))^2,\overline U_k)$、
2. 大場の小因子を生むために残した Wilson 項 $-\mathcal A((1/(g''_k(\cdot))^2)\zeta_1,U''_{k,Z})$、
3. 小さい項の和

が残ることを示しました（(1.37)）。本章が扱う問題は 3 つあります。

(i) 解析延長と正値性。 帰納法の仮定は有効作用の各項が複素化した配置の空間 $\mathfrak U^c_k$ 上で解析的であることを要求します。ところが 2 の Wilson 項を $G^c$ 値の配置に延長すると、Wilson 作用の非負性 $1-\frac1N\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p\ge0$ が失われます。大場の小因子はこの非負性から出るので、延長しても「$G$ 値の配置での Wilson 作用 + 小さい解析的な項」の形が残ることを示す必要があります（§3–§5）。

(ii) 局所化。 古い有効作用の項は古い背景場 $U''_k$ の関数です。新しい作用は新しい背景場 $\overline U_k$ の関数でなければならず、しかも各項は局所化領域の上の場にだけ依存しなければなりません。$U''_k$ を $\overline U_k$ のまわりに展開し、展開で生じる非局所性を局所化展開で切ります（§6–§8）。

(iii) 再和と R の形。 局所化で生じた項を領域ごとに再和し、$Z$ からはみ出す部分の大きさで指数減衰することを示します（§9–§10）。これが第 3 部のクラスター展開と指数化の入力になります。最後に R 操作の完成形を書きます（§11–§12）。

4 次元で R が必要になる理由は、第 1 部の係数の食い違い $|g''_k(\cdot)^{-2}-g_k^{-2}|\le O(1)(k-j)$ に現れています。大場の領域に残る Wilson 項の係数は、その領域が生まれた段からの年齢に比例してずれます。本章の (1.47) の評価で $\exp(-\delta d)$ の減衰がこのずれを抑える様子を、計算として確かめます。結合定数が対数で走る他の 4 次元模型でも同じ構造が現れるので、この部分は原論文の中でも再利用価値の高い箇所です。

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