Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部：小場のくりこみ変換と帰納的仮定（§0–§2）

0. この記事の要点

• 格子の上のゲージ場を粗く見ていく操作をくり返しても、場の重み（作用）の形が崩れないことを示した論文を読みます。T. Bałaban, “Renormalization group approach to lattice gauge field theories. I”（Commun. Math. Phys. 109 (1987) 249–301）は、4 次元の格子純ゲージ理論で、くりこみ群の変換（ブロック平均による粗視化）を何段施しても有効作用が「Wilson 作用 × 有効結合定数 ＋ 局所化された小さい項」の形を保つことを、小さい場の領域に限って示した論文です。本章はその §0–§2（pp.249–269）を精読します。
• 原論文の主張は Theorem 1・2・3 の 3 つと、式番号つきの評価です。本章では Theorem 1（有効作用の一般形）を Theorem 3 に帰着させ、Theorem 3（帰納的仮定の保存）の主張と証明の構成を置き、§2 の計算（臨界点・展開・線形化変換・新しい作用の表示・対称性）をすべて証明します。Theorem 2（裸結合定数の存在と対数的な流れ）は原典に証明がなく、本章でも主張のみです。Theorem 3（と Theorem 1）は、原論文が断らずに使っている 3 つの点を仮定として言明に残した形で述べます: 無限格子への延長 (P4)（第 3 部）、局所化項の解析性の定義域についての条件 4 の単調性 (M4)、背景場の立方体ごとの表示 (T)。
• 原論文が数行で済ませた段を埋めました。Faddeev–Popov 型の恒等式 (0.15)(0.16)（ゲージ方向の積分を 1 に等しい因子の挿入で取り除く恒等式）を Haar 測度の不変性から導き、局所化項の和の評価 (0.26)(0.30) の核になる「連結な立方体族の数え上げ」を、深さ優先の閉路で $(2d)^{2(n-1)}$ と抑えて証明します。
• (2.10) の後の「容易に示せる」線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$ について、作用素 $h$ が存在するための条件（平均の係数の可逆性）を明示し、それが $L^{1-d}$ 程度の小ささを背景場の曲率に要求することを示したうえで、縮小写像で存在・一意性・解析性を証明します。
• 原論文 (1.20)(1.21) の「$\mathfrak g\otimes\mathfrak g$ の不変元は $\delta^{ab}$ に比例する」は $G$ が**単純**（Lie 環が自明でないイデアルをもたない）なときにしか正しくありません。半単純で単純でない群では単純成分ごとに結合定数が要ります。本章は $G$ を単純と仮定して述べ、違いを注意に書きます。

1. 動機

1.1. 何を示した論文か

4 次元の Yang–Mills 理論を格子で正則化すると、分配関数は有限次元の積分になります。格子間隔 $\varepsilon$ を $0$ に近づけたとき、適切に裸の結合定数 $g_0(\varepsilon)$ を選べば分配関数や相関関数が極限をもつか、というのが構成的場の理論の問題です。Wilson の考え方に従えば、格子間隔 $\varepsilon$ から始めて、ブロック平均による粗視化（くりこみ変換）を $K=\log_L\varepsilon^{-1}$ 回くり返し、単位格子での有効作用を調べることになります。

Bałaban は 1983–85 年の一連の論文（平均操作、背景場中のプロパゲータ、正則な配位、変分問題、3 次元の紫外安定性）で道具を整え、本論文から 4 次元の場合に入りました。4 次元はくりこみ可能で、結合定数が段ごとに対数的に動くので、超くりこみ可能な 3 次元より 1 段難しくなります。本論文は問題を 2 つに分けます。

1. 積分を「小さい場」の領域に制限したとき、有効作用 $A_k$ がどんな形をしているか（本論文の主題）。
2. 小さくない場（大場）の寄与の処理（“Large field renormalization” I・II、1989）。

主結果は、有効結合定数 $g_k$ がすべて小さい区間 $]0,\gamma]$ に入っていれば、有効作用は

$$A_k=-\frac1{g_k^2}A(U_k)+\sum_{j=1}^k\bigl[-\beta_j(g_{j-1})A(U_k)+\mathbf E^{(j)}(U_k)\bigr]$$

と書け、各 $\mathbf E^{(j)}$ は局所化された項の和で、$\beta_j$ の項と組にすると $(L^j\eta)^{4+\alpha}$ の因子をもつ「無関連」な項になる、というものです（Theorem 1）。ここで $U_k$ は有効作用の背景場で、$k$ 回平均すると与えられた粗い配位 $V$ になる配位のうち Wilson 作用を最小にするものです。

1.2. 何が新しいか

超くりこみ可能な模型では、局所化された項の和は体積 × 定数で抑えられれば十分でした。4 次元ではそれでは足りず、各段の揺らぎ場積分が生む項のうち Wilson 作用密度に比例する部分（限界項）を取り出して結合定数に繰り込まなければなりません。Bałaban はこれをゲージ不変性から来る Ward–Takahashi 恒等式（作用のゲージ不変性を微分して得られる、導関数どうしの関係式）で行います。ゲージ不変性があるので、限界的になりうる 2 次の項は $\beta\,A(U)$ の形しかとれず、その係数 $\beta$ は真空偏極テンソル $\Pi_{\mu\nu}$（有効作用の 2 階導関数）の 2 次モーメントとして決まります（(1.22)）。（「限界」「無関連」はくりこみ群の用語で、関連・限界・無関連な変数を参照してください。）この $\beta_j$ を使った差分方程式

$$\frac1{g_{j-1}^2}=\frac1{g_j^2}+\beta_j(g_{j-1})$$

が Callan–Symanzik 方程式の離散版で、有効結合定数の流れを定めます。

もう 1 つの技術的な新しさは、平均操作とゲージ固定を格子の Euclid 変換と可換にしたことです。以前の論文の軸ゲージは座標の順序に依存していました。Ward–Takahashi 恒等式の帰結（真空偏極テンソルの形）を使うには超立方群の対称性が要るので、Federbush の群平均で複数の経路を平均した輪郭変数 $U(y,x)$ と、指数型のゲージ固定関数 $\exp[-\alpha^{-1}(1-\operatorname{Re}\operatorname{tr}U(y,x))]$ を導入しました。

1.3. 物理への含意と前後の論文

本論文の結論は漸近的自由性（結合定数が短距離で $0$ に近づく性質）を仮定しません。仮定は「すべての $g_k$ が小さい」ことだけで、漸近的自由な $SU(2)$ 理論でこれが成り立つこと（Theorem 2）は摂動計算による別論文に回されていますが、その論文は刊行されていません。後続の論文はこの点を仮定として残しています。III（収束するくりこみ展開）の Theorem 1 は評価 (0.31) を、Large field renormalization II の Theorem 1 は「すべての $g_k$ が $]0,\gamma]$ に入る」ことを仮定に置きます（詳しくは 注意 4.9）。3 次元では $g_k^2=g^2L^k\varepsilon$ と結合定数が自動的に小さくなるので、この仮定は不要です。

QED₄ のような可換ゲージ理論では、Ward–Takahashi 恒等式と真空偏極テンソルの横断性の議論（第 3 部）はほぼそのまま通りますが、β 関数の符号が逆で結合定数は紫外で増大します。このため「すべての $g_k$ が小さい」という仮定が保たれず、本論文の枠組みは紫外極限の構成には使えません。QED₄ の連続極限が自明になると予想される理由の 1 つがここにあります。

1.4. 本章の範囲と原論文との対応

原論文	本章
§0 (0.1)–(0.12)	定義 2.1、命題 2.2、補題 2.3、補題 2.4
§0 (0.13)–(0.20)	定義 3.1、命題 3.3、定義 3.4
§0 (0.21)–(0.31)、Theorem 1・2	定義 4.1、補題 4.2、補題 4.3、補題 4.4、定理 4.7、定理 4.8
§1 (1.1)–(1.22)、Theorem 3	定義 5.1 〜 定義 5.11、補題 5.6、命題 5.13、定理 7.1
§2 (2.1)–(2.18)	命題 6.1、命題 6.3、補題 6.4、補題 6.6、命題 6.8、命題 6.10

§3（揺らぎ場積分の項の展開と解析接続）は第 2 部、§4–§5（Ward–Takahashi 恒等式と真空偏極テンソル、β 関数）は第 3 部で扱います。

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