# Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 3 部：Ward–Takahashi 恒等式・真空偏極テンソル・β 関数（§4–§5）

> Bałaban の RG I の §4–§5 を精読する。ゲージ不変性から Ward–Takahashi 恒等式の系列を導き、揺らぎ場の 3 次・4 次の項を 2 次の核に還元し、真空偏極テンソルの運動量表示から β 関数を定めて限界項の相殺を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-3

## 0. この記事の要点

物理の理論を細かい目の網の上で近似し、網を少しずつ粗くしていくと、理論を表す式に新しい項が次々に生まれます。そのうち網の細かさに左右されない大事な項が、もとの理論と同じ形にまとまり、「強さを表す 1 つの数」の変化だけで済むことを示すのがこの記事の内容です。鍵になるのは、場の取り替えに対する理論の対称性（ゲージ対称性。格子では[リンク変数のゲージ変換](/physics/lattice-field-theory/lattice-gauge-fields#def-link-variables)についての不変性）です。

- T. Bałaban, "Renormalization group approach to lattice gauge field theories. I"（Commun. Math. Phys. 109 (1987) 249–301）の §4（pp.281–292）と §5（pp.292–298）を精読します。第 2 部で残った「揺らぎ場について 4 次までの局所的な項」を、ゲージ不変性だけを使って **2 次の核 1 つ**（[真空偏極テンソル](/physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-3#def-polarization-tensor) $\Pi$。有効作用の 2 階微分を局所化領域について足した核）に還元し、その核の運動量表示から β 関数を定め、限界的な項が反対項 $\beta_jA$ と打ち消し合うことを示す節です。
- 道具の中心は **Ward–Takahashi 恒等式**（ゲージ不変性を微分して得る、導関数どうしの関係式。<Ref to="thm-ward-takahashi-basic" />）です。ゲージ不変な関数 $\mathbf E(e^{iB})$ を微小ゲージ変換の方向に微分した基本恒等式 (4.9) を、さらに $B$ について微分して $B=0$ で評価すると、高階の微分 $\mathbf E^{(3)},\mathbf E^{(4)}$ を勾配 $\partial\lambda$ に縮約したものが、より低い階の微分で書ける恒等式の系列 (4.15) が得られます。1 次の微分は半単純性から $0$ です (4.14)。
- 4 次と 3 次の項は、場 $B$ を点 $x$ のまわりで展開し「定数の場は純ゲージ $\partial\lambda_x$」という事実と恒等式 (4.15) を交互に使うことで、$\mathbf E^{(2)}$ の 0 次・1 次・2 次のモーメントと $B$ の局所多項式の積に書き直せます（(4.29)(4.31)(4.34)）。残りは $(L^j\eta)^{4+\beta}$ の因子をもつ[無関連な項](/physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-1#def-irrelevant)（くりこみ群の段を進めると小さくなり、結合定数に繰り込まなくてよい項）です。原論文が「同様に」で済ませた余りの評価は、Faà di Bruno 型の微分の表示と Cauchy 評価から一般的な判定法（<Ref to="lem-irrelevance-criterion" />）を作り、すべてそれに帰着させます。
- §5 では $\Pi$ の Fourier 変換を帯状領域で解析的に延長し、Laurent 分解と Taylor の公式で「2 次までの多項式 ＋ 差分 3 個の積 × 解析的な係数」に分けます。ゲージ不変性（横断性）と超立方群の対称性から 2 次の部分は $\beta(\delta_{\mu\nu}\lvert p\rvert^2-p_\mu p_\nu)$ の形に限られ、$\beta=\sum_x\Pi_{\mu\nu}(x)x_\mu x_\nu$（$\mu\ne\nu$）が β 関数です（<Ref to="thm-beta-function-formula" />）。
- 結論は、核 $\Pi-\beta_j\Delta_j$ の Fourier 変換が $p=0$ で 3 次まで消えるので、限界的な項がすべて打ち消し合い、残りは無関連になることです（<Ref to="thm-marginal-terms-cancel" />）。原論文の (5.16)(5.37) の 3 次以上の項の添字の置き方は (5.15) と整合しないので、本章では整合する形 $\delta_{\mu\nu}\Delta(p)-\partial_\mu(p)\overline{\partial_\nu(p)}$ に直しました（<Ref to="rem-index-correction" />）。

## 1. 動機

### 1.1. §4–§5 は何をする節か

第 1 部で、$k+1$ 段目の揺らぎ場の積分の被積分関数が、作用の明示的な項 $\mathbf P^{(k)}$ と、前の段までの局所化項の差

$$
\sum_{j=1}^k\Bigl[\mathbf E^{(j)}\bigl(U_k(e^{iB'}V^{(k)})\bigr)-\mathbf E^{(j)}\bigl(U_k(V^{(k)})\bigr)\Bigr]-\sum_{j=1}^k\beta_j(g_{j-1})\Bigl[A\bigl(U_k(e^{iB'}V^{(k)})\bigr)-A(U_{k+1})\Bigr]
$$

からなることを見ました（<Ref to="physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-2#def-integrand-parts" />）。第 2 部は第 1 の和を、1 の分割 $1=\sum_\square\zeta_\square$ で立方体ごとに分け、局所化領域 $X$ が立方体 $\square$ の近く（$X\subset\tilde\square^2$）にある項を、平均の場 $B=Q_j(\eta A)$ について 4 次まで Taylor 展開しました（<Ref to="physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-2#thm-expansion-irrelevant-except-low-orders" />）。残ったのは

$$
\frac{\partial}{\partial t_\square}\sum_{n=1}^4\frac1{n!}\Bigl\langle\frac{\delta^n}{\delta B^n}\mathbf E^{(j)}\bigl(X,U_j(\square_0,1)\bigr),\bigotimes^nB\Bigr\rangle\Big\vert_{t_\square=0}
$$

という有限個の項です。$B$ は $j$ 段目の単位格子で見て大きさ $L^j\eta$ の場なので、$n$ 次の項は形式的には $(L^j\eta)^n$ 程度で、無関連の基準 $(L^j\eta)^{4+\alpha}$（<Ref to="physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-1#def-irrelevant" />）に届きません。これらは「限界的」または「関連的」な項で、すべて処理しないと帰納法が回りません。

§4–§5 の内容は次の 3 段です。

1. ゲージ不変性から Ward–Takahashi 恒等式を導き、1 次の項が $0$ であること、3 次・4 次の項が 2 次の微分 $\mathbf E^{(2)}$ で書けることを示す（§4、本章 §3・§5）。
2. 局所化領域について足し合わせた $\mathbf E^{(2)}$、すなわち真空偏極テンソル $\Pi$ の運動量表示を調べ、その主要部が 1 つの数 $\beta$ で決まることを示す（§5 前半、本章 §6）。
3. $\beta_j$ をその数に選べば、限界項が反対項 $\beta_jA$ の展開と打ち消し合う（§5 末、本章 <Ref to="thm-marginal-terms-cancel" />）。

### 1.2. なぜ Ward–Takahashi 恒等式が要るか

4 次元では、揺らぎ場の積分が生む 2 次の項のうち、場の 2 階微分程度の大きさ（次元 4 の演算子）のものは限界的で、結合定数のくりこみで吸収しなければなりません。ゲージ理論では次元 4 以下の局所演算子の候補はたくさんありますが（質量項 $\mathrm{tr}B_\mu B_\mu$、$\mathrm{tr}(\partial_\mu B_\mu)^2$ など）、ゲージ不変性があれば Yang–Mills 作用の密度 $\frac12\mathrm{tr}F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ しか許されません。連続理論の摂動論では、これを Ward–高橋恒等式（QED の 1 ループの場合は <Ref to="physics/qft/qed-one-loop#thm-ward-takahashi" />、真空偏極の横波性は <Ref to="physics/qft/qed-one-loop#prop-vacuum-polarization-transverse" />）で確かめます。Bałaban は同じことを、くりこみ群の各段で生じる非摂動的な局所化項 $\mathbf E^{(j)}(X,\cdot)$ について行います。使うのは $\mathbf E^{(j)}(X,\cdot)$ がゲージ不変な解析関数であることだけで、摂動展開は使いません。

格子特有の難しさは 2 つあります。第 1 に、場はボンドの上にあり、平行移動・鏡映でボンドの始点がずれるので、Euclid 共変性の式に位相因子が入ります（(5.7)(5.13)）。第 2 に、3 次・4 次の項に現れる場 $B$ は点ごとに違う値をとるので、「定数の場は純ゲージ」という事実を使うには、$B(y)$ を $B(x)$ と差分 $B(y)-B(x)$ に分け、差分の項が無関連であることを示さなければなりません。後者は $\mathbf E^{(n)}$ が局所化領域から離れると指数的に小さいことに依存し、これが評価の要になります。

### 1.3. 物理への含意と前後の論文

本章の結論で定まる $\beta_j(g_{j-1})=\sum_x\Pi_{j,\mu\nu}(x)x_\mu x_\nu$ は、有効結合定数の流れ $g_{j-1}^{-2}=g_j^{-2}+\beta_j$ を決める非摂動的な β 関数です。その符号と大きさ、すなわち $\beta_j=\beta_0+O(g_{j-1})$ で $\beta_0\gt0$（漸近的自由性）であることは、本論文では示されません。これは第 1 部の Theorem 2（<Ref to="physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-1-part-1#thm-bare-coupling-existence" />）の内容で、原論文が予告した証明は刊行されていません。続く論文 III は、$\beta_j$ が別の表示（$\Pi_{22}$ の 2 次モーメント）とも一致することを示しています（<Ref to="physics/gauge-rg-papers/balaban-rg-3-part-3#thm-beta-coincides" />）。

可換群 $U(1)$ の場合（QED₄ のゲージ部分）には、交換子がすべて消えるので、高階の恒等式 (4.15) は「$\mathbf E^{(n)}$ を $\partial\lambda$ に縮約すると $0$」という単純な形になり、3 次・4 次の項は最初から限界的になりません。$\Pi$ の横断性と $\beta$ の定義（§5）はそのまま通ります。違いは β 関数の符号で、フェルミオンを含む QED₄ では 1 ループの係数が負（結合定数が紫外で増大、<Ref to="physics/qft/qed-one-loop#thm-qed-beta-one-loop" />）なので、「すべての $g_k$ が小さい」という本論文の仮定が保たれません。非可換の場合の 1 ループの係数は <Ref to="physics/qft/nonabelian-gauge-quantization#thm-ym-beta-one-loop" /> にあります。本章の議論は、β 関数の符号によらず「限界項は 1 つの数 $\beta_j$ に集約される」ことを示す部分です。

### 1.4. 本章の範囲と原論文との対応

| 原論文 | 本章 |
|---|---|
| (4.1)–(4.5) | <Ref to="lem-derivative-decay" />、<Ref to="lem-cutoff-localization" /> |
| (4.6)–(4.15) | <Ref to="lem-gauge-variation" />、<Ref to="thm-ward-takahashi-basic" />、<Ref to="cor-ward-takahashi-higher" />、<Ref to="prop-first-derivative-vanishes" /> |
| (4.16)–(4.18) | <Ref to="lem-fluctuation-field-derivative-bounds" /> |
| (4.19)–(4.29) | <Ref to="lem-fourth-order-second-sum-irrelevant" />、<Ref to="prop-fourth-order-reduction" /> |
| (4.30)(4.31) | <Ref to="lem-lattice-taylor-formula" />、<Ref to="prop-third-order-reduction" /> |
| (4.32)–(4.34) | <Ref to="lem-invariant-tensor-is-scalar" />、<Ref to="thm-fluctuation-action-local-form" /> |
| (4.35)–(4.37) | <Ref to="lem-domain-extension-irrelevant" />、<Ref to="def-polarization-tensor" /> |
| (4.38)–(4.45) | <Ref to="prop-counterterm-expansion" /> |
| (5.1)–(5.15) | <Ref to="prop-polarization-symmetries" />、<Ref to="lem-polarization-decay" />、<Ref to="prop-polarization-analytic" /> |
| (5.16)–(5.38) | <Ref to="lem-laurent-splitting" />、<Ref to="lem-cubic-remainder" />、<Ref to="prop-polarization-low-order-form" />、<Ref to="thm-polarization-tensor-representation" /> |
| (5.39)–(5.42) | <Ref to="thm-beta-function-formula" /> |
| (5.43)(5.44)、§5 末 | <Ref to="thm-marginal-terms-cancel" />、<Ref to="rem-alternative-higher-functions" /> |

（この章の続きは購入者向けです。）