# Dimock『Multiscale block averaging for QED₃』精読 第 1 部：フェルミオンの多尺度ブロック平均・臨界点・Dirac 伝播関数の恒等式

> QED₃ のくりこみ群で使うフェルミオンの多尺度ブロック平均について、密度の閉じた表示（Lemma 1）、臨界点と次の段の臨界点（Lemma 2〜4）、Dirac 伝播関数の 2 つの恒等式（付録 A の Lemma 18・19）を Grassmann Gauss 積分だけから証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/gauge-rg-papers/dimock-qed3-block-averaging-part-1

## 0. この記事の要点

3 次元の量子電磁力学で電子にあたる場（フェルミオン）を、細かい格子から粗い格子へ、ブロックごとに平均しながら積分していく操作を、代数だけで正確に書き下す章です。評価は次の部に回し、ここでは恒等式と公式の確認に徹します。

- J. Dimock の論文 "Multiscale block averaging for QED in d=3"（J. Math. Phys. 61 (2020) 032302、arXiv:1712.10029）は、3 次元の格子量子電磁力学（QED₃）の紫外安定性を Bałaban 型の[くりこみ群](/physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group#def-block-spin)で示す計画の技術的な土台です。本章はその §1、§2.1〜§2.4 と付録 A、すなわちフェルミオン側の**代数的な部分**を精読します。評価（ランダムウォーク展開）は第 2 部で扱います。
- ブロック平均を一部の領域だけで $k$ 回施した密度は、細かい格子の場 $\psi$ についての 1 回の Gauss 型の積分で閉じた形に書けます（Lemma 1）。途中で出る定数がゲージ場 $A$ によらないのは、平均作用素から作る射影 $P(A)$ のトレースが $A$ によらないためで、これを独立の補題として証明します。
- 自由な作用のもとでは、密度は臨界点 $\psi_{k,\Omega}(A)$ のまわりの展開により $N_{k,\Omega}Z_{k,\Omega}(A)\,F_{k,\Omega}\,e^{-\langle\bar\Psi,D_{k,\Omega}(A)\Psi\rangle}$ の形になり（(55) と Lemma 2）、次の段の臨界点は 1 つ前の段の臨界点の合成で書けます（Lemma 3・4）。
- 付録 A の 2 つの恒等式（Lemma 18・19）を、源つき [Grassmann Gauss 積分](/physics/lattice-field-theory/lattice-fermions#thm-grassmann-gaussian)と「母関数が等しければ作用素が等しい」という補題だけから証明します。その過程で、原論文の (391) の転置は $\bar\Psi$ に作用する作用素 $\bar H_{k,\Omega}$ の転置と読まなければならないことを指摘します。
- 番号つきの主張 6 個（Lemma 1〜4・18・19）と本文で主張される式（(18)(21)(22)(25)(27)(44)(45)(52)〜(56)(63)(72)(76)(79)〜(86)(184)(380) など）をすべて証明します。可逆性（$S_{k,\Omega}(A)$ などの存在）は仮定として明示し、その証明は第 2 部に回します。
- [Berezin 測度](/physics/lattice-field-theory/lattice-fermions#def-berezin-integral)の正規化を「Gauss 積分がちょうど行列式になる」ように選んだので、論文の明示的なスケール因子（$L^{-8(\cdots)}$）とは $A$ によらない定数だけ違います。違いは例と注意で具体的に示します。

## 1. 動機

### 1.1. 何を示そうとしている論文か

3 次元の Euclid 時空で、電子（4 成分の Dirac 場）と光子（可換ゲージ場）が結合した量子電磁力学を考えます。Dimock の一連の論文は、格子間隔 $\epsilon=L^{-N}$ の単位体積のトーラス $(L^{-N}\mathbb Z/\mathbb Z)^3$ の上で正則化した分配関数

$$
\mathsf Z(N,e)=\int\exp\Bigl(-\tfrac12\|dA\|^2-\langle\bar\psi,(D_A+\bar m)\psi\rangle+(\text{対抗項})\Bigr)\,D\bar\psi\,D\psi\,DA
$$

について、対抗項をうまく選べば、結合定数 $e$ が十分小さいとき $N$ によらない定数 $K_\pm$ で

$$
K_-\le\frac{\mathsf Z(N,e)}{\mathsf Z(N,0)}\le K_+
$$

が成り立つこと（**紫外安定性**）を示すことを目標にしています。ここで $D_A$ は Wilson 項つきの共変な格子 Dirac 作用素です（[格子フェルミオン](/physics/lattice-field-theory/lattice-fermions) の <Ref to="physics/lattice-field-theory/lattice-fermions#def-wilson-dirac" /> の 3 次元・非コンパクト $\mathrm U(1)$ 版）。分配関数の比が格子間隔によらない上下界をもつことは、相関関数の一様評価と連続極限へ進むための最初の関門です。

方法は Bałaban のくりこみ群です。$L$ 個ずつの格子点からなるブロックで場を平均し、格子を $L$ 倍に縮めて単位格子に戻す、という変換を $N$ 回繰り返します（一般論は [厳密なくりこみ群](/physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group) の <Ref to="physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group#def-block-spin" />）。各段で、場の強さ $dA$ が小さい「小場」の領域と、そうでない「大場」の領域に分け、平均は小場の領域だけで行います。こうして $k$ 段目には、領域の減少列 $\Omega_1\supset\Omega_2\supset\cdots\supset\Omega_k$ に応じて、場所ごとに平均の回数が違う**多尺度**の場が現れます。

### 1.2. 臨界点の代数がなぜ要るのか

ブロック平均は、Gauss 型に広げたデルタ関数

$$
\delta_G(\Psi_{k+1}-Q(A)\Psi_k)\propto\exp\bigl(-bL^{-1}\langle\bar\Psi_{k+1}-Q(-A)\bar\Psi_k,\ \Psi_{k+1}-Q(A)\Psi_k\rangle\bigr)
$$

を掛けて古い場 $\Psi_k$ で積分することで定義されます。フェルミオンの作用は 2 次形式なので、$k$ 回の変換の合成も 2 次形式の積分で、その積分は**臨界点のまわりで平方完成**すれば実行できます。結果として、有効作用の主要部は

$$
\langle\bar\Psi_{k,\Omega},D_{k,\Omega}(A)\Psi_{k,\Omega}\rangle,\qquad D_{k,\Omega}(A)=b^{(k)}-b^{(k)}Q_{k,\Omega}(A)S_{k,\Omega}(A)Q^{\mathsf T}_{k,\Omega}(-A)b^{(k)}
$$

という形の作用素で書け、ゆらぎの共分散は多尺度の Dirac 伝播関数 $S_{k,\Omega}(A)=[D_A+\bar m_k+P_{k,\Omega}(A)]^{-1}_{\Omega_1}$ で表されます。くりこみ群の各段の評価はすべて $S_{k,\Omega}(A)$ とその変形の評価に帰着するので、まずこれらの作用素のあいだの**正確な恒等式**を整えておくことが要ります。それが本章の内容です。

とくに付録 A の 2 つの恒等式は、フェルミオン行列式 $\det[D_{k,\Omega}(A)+bL^{-1}P(A)]_{\Omega_{k+1}}$ を局所的な項の和の指数に書き直すとき（第 2 部の Lemma 10）の出発点になります。行列式の対数を積分表示すると、レゾルベント型の作用素 $\Gamma_{k,\Omega^+,y}(A)$ が現れ、Lemma 18 がそれを多尺度伝播関数 $S_{k,\Omega^+,y}(A)$ で書き直し、後者はランダムウォーク展開で局所化できる、という流れです。

### 1.3. 前後の論文と物理への含意

この論文の前段は Dimock の "Ultraviolet regularity for QED in d=3"（J. Math. Phys. 59 (2018) 012301）で、場の強さが全域で有界であるという近似のもとで、全域で平均した場合（本章 §9 の大域版）を扱いました。本論文はそれを、大場と小場の分割から生じる多尺度の設定に拡張し、さらにゲージ場側の多尺度 Green 関数と最小化元の局所正則性（第 3・4 部）を整えます。これらを使って紫外安定性そのものを示すのが続く論文で、本テーマの後半の章で扱います。フェルミオン側の多尺度伝播関数の評価は Bałaban–O'Carroll–Schor（Commun. Math. Phys. 122 (1989)、J. Math. Phys. 32 (1991)）にさかのぼります。

物理的な位置づけを一言で言えば、QED₃ は結合定数 $e^2$ が質量次元 1 をもつ**超くりこみ可能**な理論で、各段の有効結合定数 $e_k=L^{-(N-k)/2}e$ は紫外側（$k$ が小さい側）で小さくなります。このため Bałaban の小場の展開が使えます。4 次元の QED では結合定数が無次元で、しかも紫外で大きくなる（漸近自由でない）ので、同じ構成をそのまま使うことはできないと考えられています。ただし本章で扱うフェルミオン側の代数（ブロック平均・臨界点・伝播関数の恒等式）は次元を使っていません。次元が入るのは場のスケール因子（$\psi$ は $L^{-1}$、$A$ は $L^{-1/2}$）と、それに伴う結合定数・質量の走り方だけです。

### 1.4. 本章の範囲と規約

本章は有限次元の Grassmann 代数と線形代数だけを使い、主張をすべて証明します。原論文が「[33] のように」「容易に」で済ませた段（大域版 (18)〜(27)、臨界点の値の計算 (45)、定数が $A$ によらないこと、スケール則、Lemma 18・19 の積分の交換）も埋めます。

規約について 2 点断っておきます。第一に、内積は格子の体積要素で重みをつけた**双線形形式**（複素共役をとらない）で、転置 $T^{\mathsf T}$ はこの内積に関するものです。$Q(A)Q^{\mathsf T}(-A)=I$ のような論文の式は、この重みをつけて初めて正確に成り立ちます。第二に、Berezin 測度 $D\Psi$ は、重みつき内積で書いた Gauss 積分 $\int e^{-\langle\bar\Psi,M\Psi\rangle}D\Psi$ がちょうど $\det M$ になるように正規化します。論文の (14)(30) のスケール因子 $L^{-8(\cdots)}$ は論文自身の測度の規約に合わせた値で、本章の規約では別の $L$ の冪になります（<Ref to="ex-single-cube" /> で比較します）。どちらの規約でも違いは $A$ と場によらない定数で、くりこみ群の解析には影響しません。

（この章の続きは購入者向けです。）