3 次元以下と 4 次元の違い

$\varepsilon\in(0,1)$ を格子間隔、$g_0$ を裸の結合とし、利得を $\Gamma(\varepsilon)=\exp(-p_0(g_0)^2/2)$ とおく。

1. $d\lt4$ で $g_0=g\,\varepsilon^{(4-d)/2}$（$0\lt g\lt1$ 固定）ならば、任意の $q\gt0$ に対し $\varepsilon\to0$ で $\Gamma(\varepsilon)\le\varepsilon^q$ が成り立つ。
2. $d=4$ で $g_0^{-2}=a+b\log\varepsilon^{-1}$（$a,b\gt0$）ならば、任意の $q\gt0$ に対し $\varepsilon\to0$ で $\Gamma(\varepsilon)\ge\varepsilon^q$ となる。さらに 1 段ごとの費用が因子 $e^{c_1}$（$c_1\gt0$ 定数）だとすると、$\Gamma$ が払える段数 $n_*=p_0(g_0)^2/(2c_1)$ と全段数 $n_{\rm tot}=\log\varepsilon^{-1}/\log L$ の比は $0$ に収束する。