数学 › 作用素環と量子統計力学 › 表現の準同値と準自由状態の判定有料章

ベクトル状態の距離

補題 5.1（「表現の準同値と準自由状態の判定」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 51 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

  • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
      • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定 この先をたどる →
      • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
      • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
      • 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
  • トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • 階数 1 の和のトレース✓補題 7.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
  • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素

      • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
      • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • 特異値の比較✓補題 6.1・作用素不等式と積分作用素 この先をたどる →
    • Schatten クラスの Hölder 不等式✓定理 6.3・作用素不等式と積分作用素

      • Schatten ノルムの変分表示✓定理 6.2・作用素不等式と積分作用素（上で展開済み）
  • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎

    • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎

      • 平行四辺形則と分極恒等式✓命題 2.3・Hilbert 空間の基礎
      • 最近点の変分的特徴づけ✓補題 3.3・Hilbert 空間の基礎
      • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
  • 極分解✓定理 4.11・有界作用素と共役作用素

    • 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
    • 部分等長の特徴づけ✓命題 4.8・有界作用素と共役作用素

      • 直交射影の特徴づけ✓定理 4.5・有界作用素と共役作用素
  • Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス（上で展開済み）
  • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 純粋な積状態の同値判定✓定理 5.3・表現の準同値と準自由状態の判定
• 忠実度の基本性質✓命題 4.3・準自由状態の準同値

関連するノック 1 問

• 作用素環と量子統計力学 第 70 問有料