数学 › 作用素環と量子統計力学 › 状態の凸分解有料章

KMS 汎関数と中心の対応

定理 6.4（「状態の凸分解」§6） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 294 件、定義なども含めて 332 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• KMS 条件の弱閉包への拡張✓補題 6.1・状態の凸分解

  • Kaplansky の稠密性定理✓定理 3.8・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 連続線形写像の判定✓命題 3.3・局所凸空間と弱位相

      • 局所凸位相の基本性質✓命題 3.2・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
    • 分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相

      • コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
      • 分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
      • 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理

      • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
      • 可換子の基本性質✓命題 3.1・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
      • Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成 この先をたどる →
    • von Neumann 環の位相的特徴づけ✓系 3.4・von Neumann 環と二重可換子定理

      • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
    • 連続関数計算✓系 6.3・C*-代数の基礎

      • ゲルファント表現✓定理 5.4・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • スペクトルの不変性✓命題 6.1・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • 指標の基本性質✓補題 5.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • ゲルファント–ナイマルクの定理（可換な場合）✓定理 5.6・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • *-準同型の縮小性✓補題 4.7・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • 連続関数のスペクトルは値域✓補題 3.5・C*-代数の基礎
  • 帯領域上の有界正則関数✓補題 2.4・KMS 状態と熱平衡
• モジュラー KMS 汎関数と中心✓命題 6.3・状態の凸分解

  • 状態はモジュラー群に関して KMS 条件を満たす✓定理 5.3・冨田–竹崎理論とモジュラー群

    • モジュラー作用素の基本関係✓命題 3.4・冨田–竹崎理論とモジュラー群

      • S の共役は F✓定理 3.1・冨田–竹崎の定理の証明 この先をたどる →
      • 冨田作用素は可閉✓補題 3.2・冨田–竹崎理論とモジュラー群 この先をたどる →
    • KMS 条件定義 5.2・冨田–竹崎理論とモジュラー群
  • KMS 状態の時間不変性✓命題 4.1・KMS 状態と熱平衡
  • モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質

    • 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質

      • コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
  • リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質

    • コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質

      • コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
  • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 帯上の解析関数✓補題 6.2・状態の凸分解

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 帯領域上の有界正則関数✓補題 2.4・KMS 状態と熱平衡
  • 冨田–竹崎の定理✓定理 4.1・冨田–竹崎理論とモジュラー群

    • 冨田–竹崎の定理（一般の場合）✓定理 7.3・冨田–竹崎の定理の証明 この先をたどる →
    • 冨田–竹崎の定理（有限次元の場合）✓定理 4.4・冨田–竹崎理論とモジュラー群
• Radon–Nikodym 型の補題✓補題 5.1・C* 環の状態と GNS 構成

  • 正値汎関数の基本性質✓命題 3.2・C* 環の状態と GNS 構成

    • コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
    • 正錐の基本性質✓命題 2.2・C* 環の状態と GNS 構成 この先をたどる →
  • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎

    • 射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 端点の KMS 状態は因子状態✓系 6.5・状態の凸分解
• KMS 状態の単体✓系 6.6・状態の凸分解