閉路に乗る辺と橋
を平面グラフ、 をその辺とする。
- が の閉路 に乗っていれば、 である。すなわち はちょうど 2 つの面の境界に含まれる。さらに、この 2 つの面は の異なる連結成分に含まれる。
- が橋ならば、 である。すなわち はただ 1 つの面の境界に含まれる。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 50 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
- 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- 埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木
- 整列性公理 3.1・証明の技術
辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ
これを使っている定理 証明で参照している 9 件
- 三角形分割のリスト彩色（Thomassen）✓補題 7.2・彩色
- 3 本の道でできた平面グラフの面✓補題 2.2・Kuratowski の定理
- 頂点を開いても凸な描画が作れる場合✓補題 5.5・Kuratowski の定理
- 辺極大なら 3-連結✓補題 6.4・Kuratowski の定理
- Euler の公式✓定理 3.1・平面グラフ
- 連結成分が c 個の場合✓系 3.2・平面グラフ
- 耳を足すと面が 2 つに分かれる✓補題 4.1・平面グラフ
- 2-連結な平面グラフの面の境界は閉路✓命題 4.2・平面グラフ
- 双対グラフの基本性質✓命題 4.5・平面グラフ