折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける
を折れ線の閉曲線とする。 はちょうど 2 つの連結成分（有界な内部と、非有界な外部）をもち、どちらも開集合で、 の各点はどちらの成分の閉包にも属する。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 32 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー この先をたどる →
- 特異鎖のコンパクト性✓補題 2.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー この先をたどる →
球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- 弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性 この先をたどる →
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
これを使っている定理 証明で参照している 7 件
- 閉路で囲まれた面✓補題 2.1・Kuratowski の定理
- 狭義凸の位置にある点列の定める凸多角形✓補題 5.2・Kuratowski の定理
- 閉路上の順序と、頂点のまわりの方向の順序✓補題 5.4・Kuratowski の定理
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
- 2-連結な平面グラフの面の境界は閉路✓命題 4.2・平面グラフ
- 双対グラフの基本性質✓命題 4.5・平面グラフ
- 五色定理✓定理 6.3・平面グラフ