狭義凸の位置にある点列の定める凸多角形

$(v_1,\dots,v_r)$（$r\ge3$）が狭義凸の位置にあるとする。線分 $[v_i,v_{i+1}]$（$1\le i\le r$。この多角形の辺と呼ぶ）の和集合を $Z$ とし、

を凸多角形（凸包）と呼ぶ。巡回列の中で隣り合わない 2 頂点を結ぶ線分を対角線と呼ぶ。

1. $v_1,\dots,v_r$ は相異なり、相異なる 2 本の辺が交わるのは、巡回列で続く 2 本が共通の端点で交わる場合だけである。したがって $Z$ は折れ線の閉曲線である。その内部は $\Pi\setminus Z$、外部は $\mathbb{R}^2\setminus\Pi$ である。すべての $i$ と $j\ne i,i+1$ で $[v_i,v_{i+1},v_j]>0$ となる向きに列を読むとき、$\Pi=\bigcap_i\{p:[v_i,v_{i+1},p]\ge0\}$、$\Pi\setminus Z=\bigcap_i\{p:[v_i,v_{i+1},p]>0\}$ である。
2. 対角線の点は、両端を除いて $Z$ の内部にある。
3. $z=v_i$ とし、巡回列での両隣を $a,b$ とする。$a-z$ と $b-z$ は一次独立である。平面の点を $p=z+\lambda(a-z)+\mu(b-z)$ と書くとき、$p\in\Pi$ ならば $\lambda\ge0$ かつ $\mu\ge0$、$p$ が $Z$ の内部にあれば $\lambda>0$ かつ $\mu>0$ である。$z$ 以外の頂点では $(\lambda,\mu)\ne(0,0)$ である。$\Lambda=\{z+\lambda(a-z)+\mu(b-z):\lambda>0,\ \mu>0\}$ は、半直線 $za,zb$ が平面から切り取る 2 つの開いた角領域のうちの一方で、その開きは $\pi$ 未満、もう一方の開きは $\pi$ より大きい。さらに、ある $\delta>0$ があって、$\Lambda$ の点で $z$ からの距離が $\delta$ 未満のものはすべて $Z$ の内部にある。
4. 凸な描画の面の境界の閉路の点集合を $Z$ とすると（頂点の列は狭義凸の位置にある）、その面が内面ならば面は $Z$ の内部に等しく、外面ならば $Z$ の外部に等しい。