数学 › グラフ理論 › Kuratowski の定理
頂点を開いても凸な描画が作れる場合
グラフ が凸な描画をもち、 を次数 3 以上の頂点とする。、、 とし、 に 2 頂点 と辺 を足して、 を の各頂点と、 を の各頂点と隣接させたグラフを とする。次の 2 条件を仮定する。
- 。
- 相異なる 4 頂点 、 で、 から見た の方向と の方向が、半直線 の切り取る 2 つの開いた角領域の異なるほうに入るものは存在しない。
このとき は凸な描画をもつ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 50 件、定義なども含めて 58 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
- 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
狭義凸の位置にある点列の定める凸多角形✓補題 5.2・Kuratowski の定理
折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 閉路で囲まれた面✓補題 2.1・Kuratowski の定理（上で展開済み）
狭義凸の位置は小さな変更で保たれる✓補題 5.3・Kuratowski の定理
- 狭義凸の位置にある点列の定める凸多角形✓補題 5.2・Kuratowski の定理（上で展開済み）
閉路で囲まれた面✓補題 2.1・Kuratowski の定理
- 折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ（上で展開済み）
閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
- 折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ（上で展開済み）
森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
- 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木 この先をたどる →
辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ この先をたどる →
連結成分が c 個の場合✓系 3.2・平面グラフ
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 3-連結グラフの凸な描画✓定理 5.6・Kuratowski の定理