平面グラフの局所的な形
を平面グラフ、 とする。十分小さい半径 の開円板 について、 は から出る 本の半径（線分）の和集合である。ここで、 が辺の内点なら 、 が頂点なら はその次数である（ のときは ）。 は、 なら隣り合う半径に挟まれた 個の開いた扇形（ のときは切れ込みの入った円板 1 つ）、 なら穴あき円板で、これらの各部分は連結であり、したがって の 1 つの面に含まれる。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
- 集合の分割定義 4.3・関係と同値関係
同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係
- 同値類・商集合・自然な射影定義 4.1・関係と同値関係
これを使っている定理 証明で参照している 6 件
- 三角形分割のリスト彩色（Thomassen）✓補題 7.2・彩色
- 閉路上の順序と、頂点のまわりの方向の順序✓補題 5.4・Kuratowski の定理
- 頂点を開いても凸な描画が作れる場合✓補題 5.5・Kuratowski の定理
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
- 五色定理✓定理 6.3・平面グラフ