辺の両側の面

補題 2.5（「平面グラフ」§2）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を平面グラフ、 $e$ をその辺とする。

$\mathring e$ の点 $p$ での両側の扇形を含む面の（順序を考えない）組は、 $p$ によらない。これを $f_1(e),f_2(e)$ と書く（一致することもある）。
面 $f$ の閉包が $\mathring e$ の点を含むのは、 $f\in\{f_1(e),f_2(e)\}$ のとき、そのときに限る。このとき閉包は $e$ 全体を含む。
（辺を除くと両側の面がつながる） $G-e$ の面は、 $f_1(e)\cup\mathring e\cup f_2(e)$ と、 $G$ のそれ以外の面である。とくに $f_1(e)\ne f_2(e)$ なら $f(G-e)=f(G)-1$ 、 $f_1(e)=f_2(e)$ なら $f(G-e)=f(G)$ である。
（孤立点） $v$ が次数 0 の頂点なら $f(G-v)=f(G)$ である。
（葉） $e$ の端点の一方の次数が 1 なら $f_1(e)=f_2(e)$ である。
頂点 $v$ が面 $f$ の閉包に属し、 $d(v)\ge1$ ならば、 $v$ は $f\in\{f_1(e'),f_2(e')\}$ である辺 $e'$ の端点である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
- 弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
  - R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
    上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
  - 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
  - 連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - 同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
    集合の分割定義 4.3・関係と同値関係
    同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係この先をたどる →
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ
- 弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性（上で展開済み）
- 連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性（上で展開済み）
- 分離と連結性定義 2.1・連結性