連結成分が c 個の場合
連結成分が 個の平面グラフでは が成り立つ。とくに、同じグラフの描画の面の数は、描き方によらない。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 54 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木
- 整列性公理 3.1・証明の技術
閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
- R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性 この先をたどる →
- 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性 この先をたどる →
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性 この先をたどる →
- 同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係 この先をたどる →
折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ
Euler の公式✓定理 3.1・平面グラフ
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術（上で展開済み）
木の同値な特徴づけ✓定理 4.4・道・閉路・木
- 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木（上で展開済み）
- 相異なる 2 本の道は閉路を生む✓補題 4.3・道・閉路・木
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 頂点を開いても凸な描画が作れる場合✓補題 5.5・Kuratowski の定理
- 平面的グラフの辺数の上界✓系 3.3・平面グラフ