数学 › グラフ理論 › 平面グラフ

開集合の連結成分の判定

補題 2.3（「平面グラフ」§2）・ ✓公理まで証明済み

$U\subseteq\mathbb{R}^2$ を開集合とする。

$U$ の連結成分は開集合である。
$A\subseteq U$ が空でない連結な開集合で、 $A$ の閉包と $U$ の共通部分が $A$ に等しいならば、 $A$ は $U$ の連結成分である。
$U$ が、空でない連結な開集合の族 $\{A_i\}$ の非交和であるならば、 $U$ の連結成分はちょうど $A_i$ たちである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
- R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
  - 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- 同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
  - 集合の分割定義 4.3・関係と同値関係
  - 同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係
    同値類・商集合・自然な射影定義 4.1・関係と同値関係
分離と連結性定義 2.1・連結性

これを使っている定理証明で参照している 4 件

辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
面の境界は閉路を含む✓補題 2.11・平面グラフ
耳を足すと面が 2 つに分かれる✓補題 4.1・平面グラフ
外平面的グラフは 3-彩色可能✓命題 6.5・平面グラフ