耳を足すと面が 2 つに分かれる
を 2-連結な平面グラフで、どの面の境界も閉路であるものとする。平面グラフ が に耳 （両端 が の頂点で、内部の頂点と辺が に属さない道）を足したものであるとする。このとき次が成り立つ。
- の 以外の点は の 1 つの面 に含まれ、 は の境界の閉路 の上にある。
- を と で 2 本の道 に分ける。 の面は、 の 以外の面（境界は でのものと同じ）と、 に含まれる 2 つの面で、後者の境界は閉路 と である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 55 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ
弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
- 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係
- 分離と連結性定義 2.1・連結性
Euler の公式✓定理 3.1・平面グラフ
木の同値な特徴づけ✓定理 4.4・道・閉路・木
歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木
- 整列性公理 3.1・証明の技術
- 相異なる 2 本の道は閉路を生む✓補題 4.3・道・閉路・木
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
- 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木（上で展開済み）
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ（上で展開済み）
閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
- Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
面の境界は閉路を含む✓補題 2.11・平面グラフ
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
- 開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ（上で展開済み）
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 2-連結な平面グラフの面の境界は閉路✓命題 4.2・平面グラフ
- 外平面的グラフは 3-彩色可能✓命題 6.5・平面グラフ