木の同値な特徴づけ
頂点のグラフ について、次の 6 条件は同値である。
- は木である（連結で、閉路を含まない）。
- のどの 2 頂点も、ちょうど 1 本の道で結ばれる。
- は連結で、どの辺も橋である（極小連結）。
- は閉路を含まず、隣接しないどの 2 頂点 についても は閉路を含む（極大非閉路的）。
- は連結で、辺の数が である。
- は閉路を含まず、辺の数が である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木
- 整列性公理 3.1・証明の技術
- 相異なる 2 本の道は閉路を生む✓補題 4.3・道・閉路・木
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
- 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木（上で展開済み）
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
これを使っている定理 証明で参照している 14 件
- 枝集合の中の木✓補題 3.5・Kuratowski の定理
- マイナーと位相的マイナー✓補題 3.6・Kuratowski の定理
- 全域木の存在✓系 4.5・道・閉路・木
- Euler の公式✓定理 3.1・平面グラフ
- 双対グラフの基本性質✓命題 4.5・平面グラフ
- 順序付けた領域での積分✓補題 4.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1
- 層の列による木と連結グラフの分解✓補題 5.4・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1
- 森を含む森と分割の上の森✓補題 7.3・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1
- nice 2-ジャングルの分解✓補題 6.3・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
- 単一尺度では BKAR の森公式に一致する✓命題 8.1・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
- c 型の働く立方体ごとの小因子（原論文 (85)–(88)）✓補題 5.1・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
- 刈り込んだ木の上の減衰（原論文 (105)–(111)）✓補題 6.10・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
- 木の長さと立方体の個数✓補題 2.3・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 3 部
- 全域木と端点✓補題 6.9・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 3 部