双対グラフの基本性質
を連結な平面グラフ、 をその双対とする。
- は連結で、頂点は 個、辺は 本である。頂点 の での次数（自己ループは 2 回数える）は である。
- が の閉路の辺集合であるためには、 が の極小な辺カット（除くと非連結になる辺集合で、包含について極小なもの）であることが必要十分である。
- が の全域木の辺集合であるためには、 が の全域木（全頂点を連結し、閉路を含まない辺集合）であることが必要十分である。
- が の極小な辺カットであるためには、 が の閉路の辺集合であることが必要十分である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 55 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
辺を除いた後の面と双対の連結成分✓補題 4.4・平面グラフ
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- 埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性
- R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性 この先をたどる →
- 連結集合の連続像✓定理 5.1・連結性 この先をたどる →
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
連結成分の基本性質✓命題 9.2・連結性
- 共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性（上で展開済み）
- 連結集合の閉包も連結✓命題 5.4・連結性 この先をたどる →
- 同値関係と分割の対応✓定理 4.4・関係と同値関係 この先をたどる →
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ
木の同値な特徴づけ✓定理 4.4・道・閉路・木
歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木
- 整列性公理 3.1・証明の技術
- 相異なる 2 本の道は閉路を生む✓補題 4.3・道・閉路・木
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
- 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木（上で展開済み）
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
- 折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ（上で展開済み）
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。