数学 › グラフ理論 › Kuratowski の定理

閉路で囲まれた面

補題 2.1（「Kuratowski の定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を平面グラフ、 $Z$ を $G$ の閉路とし、 $\mathbb{R}^2\setminus Z$ の 2 つの連結成分を $R_0,R_1$ とする。

$G$ の面 $f$ の境界が $Z$ ならば、 $f=R_0$ または $f=R_1$ である。
$R_i$ が $G$ の点を含まなければ、 $R_i$ は $G$ の面で、その境界は $Z$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
- Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
  - Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 6 件

三角形分割のリスト彩色（Thomassen）✓補題 7.2・彩色
交差する位置の Z-道は同じ側にない✓補題 2.3・Kuratowski の定理
狭義凸の位置にある点列の定める凸多角形✓補題 5.2・Kuratowski の定理
頂点を開いても凸な描画が作れる場合✓補題 5.5・Kuratowski の定理
Whitney の一意性定理✓定理 7.1・Kuratowski の定理
外平面的グラフの特徴づけ✓系 7.5・Kuratowski の定理