数学 › グラフ理論 › Kuratowski の定理
3 本の道でできた平面グラフの面
相異なる 2 頂点 を結ぶ内素な 3 本の道 の和 が平面グラフであるとする。このとき の面はちょうど 3 つで、その境界は 、、 である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 52 件、定義なども含めて 60 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
2-連結グラフの特徴づけ✓定理 3.2・連結度とネットワークフロー
橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木
歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木
- 整列性公理 3.1・証明の技術
- Whitney の不等式✓定理 2.2・連結度とネットワークフロー
- 最小次数と長い道・長い閉路✓命題 3.1・道・閉路・木
Euler の公式✓定理 3.1・平面グラフ
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術（上で展開済み）
木の同値な特徴づけ✓定理 4.4・道・閉路・木
- 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木（上で展開済み）
- 相異なる 2 本の道は閉路を生む✓補題 4.3・道・閉路・木
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ
- 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ（上で展開済み）
共通点をもつ連結集合の合併✓命題 5.3・連結性
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
2-連結な平面グラフの面の境界は閉路✓命題 4.2・平面グラフ
- 2-連結グラフの特徴づけ✓定理 3.2・連結度とネットワークフロー（上で展開済み）
折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理 この先をたどる →
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
耳を足すと面が 2 つに分かれる✓補題 4.1・平面グラフ
- 開集合の連結成分の判定✓補題 2.3・平面グラフ（上で展開済み）
- Euler の公式✓定理 3.1・平面グラフ（上で展開済み）
- 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
- 面の境界は閉路を含む✓補題 2.11・平面グラフ この先をたどる →
閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ
平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ
- 折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ（上で展開済み）
- 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ（上で展開済み）
- 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木（上で展開済み）
- 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 4 件
- 三角形分割のリスト彩色（Thomassen）✓補題 7.2・彩色
- 交差する位置の Z-道は同じ側にない✓補題 2.3・Kuratowski の定理
- Whitney の一意性定理✓定理 7.1・Kuratowski の定理
- 外平面的グラフの特徴づけ✓系 7.5・Kuratowski の定理