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Kuratowski の定理

定理 6.5（「Kuratowski の定理」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 74 件、定義なども含めて 82 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 平面性は部分グラフ・細分・縮約で保たれる✓命題 3.4・Kuratowski の定理

  • マイナーの基本性質✓補題 3.3・Kuratowski の定理

    • 全域木の存在✓系 4.5・道・閉路・木 この先をたどる →
  • $K_5$ と $K_{3,3}$ は平面的でない✓系 3.4・平面グラフ

    • 平面的グラフの辺数の上界✓系 3.3・平面グラフ この先をたどる →
    • 二部グラフと奇閉路✓定理 3.3・道・閉路・木 この先をたどる →
• 辺極大なら 3-連結✓補題 6.4・Kuratowski の定理

  • 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術

    • 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術（上で展開済み）
  • 辺極大なグラフは 2 点で貼り合わされている✓補題 6.3・Kuratowski の定理

    • $K_5$・$K_{3,3}$ の中の内素な道✓補題 6.2・Kuratowski の定理
    • 細分された辺の一部を辺で置き換える✓補題 6.1・Kuratowski の定理
  • マイナーと位相的マイナー✓補題 3.6・Kuratowski の定理（上で展開済み）
  • 3-連結グラフの凸な描画✓定理 5.6・Kuratowski の定理（上で展開済み）
  • 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ

    • 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ この先をたどる →
    • 折れ線の閉曲線は平面を 2 つに分ける✓補題 2.7・平面グラフ この先をたどる →
    • 森の描画の面は 1 つ✓補題 2.9・平面グラフ この先をたどる →
    • 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木 この先をたどる →
    • 辺の両側の面✓補題 2.5・平面グラフ この先をたどる →
  • 平面性は部分グラフ・細分・縮約で保たれる✓命題 3.4・Kuratowski の定理（上で展開済み）
  • $K_5$・$K_{3,3}$ の中の内素な道✓補題 6.2・Kuratowski の定理
  • 細分された辺の一部を辺で置き換える✓補題 6.1・Kuratowski の定理
• マイナーと位相的マイナー✓補題 3.6・Kuratowski の定理

  • 木の同値な特徴づけ✓定理 4.4・道・閉路・木

    • 歩道から道を取り出す✓補題 2.5・道・閉路・木 この先をたどる →
    • 相異なる 2 本の道は閉路を生む✓補題 4.3・道・閉路・木
    • 橋の特徴づけ✓命題 4.2・道・閉路・木 この先をたどる →
    • 森の辺の数と葉✓補題 2.2・グラフと行列式
  • 枝集合の中の木✓補題 3.5・Kuratowski の定理

    • 全域木の存在✓系 4.5・道・閉路・木 この先をたどる →
    • 木の同値な特徴づけ✓定理 4.4・道・閉路・木（上で展開済み）
    • 握手補題✓補題 2.2・道・閉路・木
  • マイナーの基本性質✓補題 3.3・Kuratowski の定理（上で展開済み）
• 3-連結グラフの凸な描画✓定理 5.6・Kuratowski の定理

  • 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術

    • 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    • 整列性公理 3.1・証明の技術
  • Whitney の不等式✓定理 2.2・連結度とネットワークフロー
  • 縮約できる辺（Thomassen）✓補題 4.1・Kuratowski の定理
  • マイナーの基本性質✓補題 3.3・Kuratowski の定理（上で展開済み）
  • 頂点を開いても凸な描画が作れる場合✓補題 5.5・Kuratowski の定理

    • 平面グラフの局所的な形✓補題 2.4・平面グラフ この先をたどる →
    • 狭義凸の位置にある点列の定める凸多角形✓補題 5.2・Kuratowski の定理 この先をたどる →
    • 狭義凸の位置は小さな変更で保たれる✓補題 5.3・Kuratowski の定理 この先をたどる →
    • 閉路で囲まれた面✓補題 2.1・Kuratowski の定理 この先をたどる →
    • 閉路に乗る辺と橋✓補題 2.10・平面グラフ（上で展開済み）
    • 連結成分が c 個の場合✓系 3.2・平面グラフ この先をたどる →
  • 2-連結な平面グラフの面の境界は閉路✓命題 4.2・平面グラフ この先をたどる →
  • 閉路上の順序と、頂点のまわりの方向の順序✓補題 5.4・Kuratowski の定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• Wagner の定理✓系 6.6・Kuratowski の定理
• Fáry の定理✓系 6.7・Kuratowski の定理
• 三角形分割への埋め込み✓命題 6.8・Kuratowski の定理

関連するノック 3 問

• グラフ理論 第 32 問
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