Hahn–Hellinger の定理（純絶対連続の場合）

定理 7.2（「スペクトルの多重度」§7）・ ✓公理まで証明済み

$H$ を可分な Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の純絶対連続な自己共役作用素とする（ $\mathcal{H}_{\mathrm{ac}}(H)=\mathcal{H}$ ）。このとき Lebesgue 可測集合（ボレル集合に取れる）の減少列 $E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots$ と、ユニタリ作用素 $W:\mathcal{H}\to\bigoplus_kL^2(E_k,\mathrm{d}\lambda)$ で $WHW^{-1}=M_\lambda$ となるもの、すなわち

H\cong\bigoplus_{k\ge1}\lambda\big|_{L^2(E_k)}

が存在する。 $F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$ も同じ性質を持つなら、すべての $k$ で $|E_k\triangle F_k|=0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 59 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hahn–Hellinger の定理✓定理 7.1・スペクトルの多重度
- 可分空間の巡回分解✓命題 3.2・スペクトルの多重度
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
    射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- 密度による書き換え✓補題 5.1・スペクトルの多重度
  - Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
- 成分の並べ替え✓補題 5.2・スペクトルの多重度
- 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- 最大スペクトル型の存在✓命題 4.1・スペクトルの多重度
  - 可分空間の巡回分解✓命題 3.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
  - 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- 最大スペクトル型定義 4.2・スペクトルの多重度
- 減少する測度の列を集合の列に直す✓補題 5.3・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- Gram 行列による多重度の読み取り（一般形）✓命題 6.4・スペクトルの多重度（上で展開済み）
掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度
- 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
- 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
  - ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
  - ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
    Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
    Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
純点・絶対連続・特異連続部分空間定義 4.1・スペクトルの分類
減少する測度の列を集合の列に直す✓補題 5.3・スペクトルの多重度
- 密度による書き換え✓補題 5.1・スペクトルの多重度（上で展開済み）
Gram 行列による多重度の読み取り（一般形）✓命題 6.4・スペクトルの多重度
- 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- Gram 行列の階数✓補題 6.2・スペクトルの多重度
- 稠密な列はほとんどすべてのファイバーを張る✓補題 6.3・スペクトルの多重度

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Gram 行列による多重度関数の読み取り✓命題 7.4・スペクトルの多重度
強時間作用素の存在の分類✓定理 5.1・強時間作用素の存在

Hahn–Hellinger の定理（純絶対連続の場合）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件