密度による書き換え

補題 5.1（「スペクトルの多重度」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mu$ を $\mathbb{R}$ 上の局所有限なボレル測度、 $\nu$ を $\nu\ll\mu$ を満たす有限なボレル測度とし、 $h=\mathrm{d}\nu/\mathrm{d}\mu$ 、 $S=\{h\gt0\}$ とおく。このとき $\nu\sim\mathbf{1}_S\mu$ であり、 $Ug=\sqrt{h}\,g$ はユニタリ作用素 $U:L^2(\mathbb{R},\nu)\to L^2(S,\mu)$ を定め、 $\lambda$ と両立する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - 有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    $L^2$ はヒルベルト空間✓定理 6.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

減少する測度の列を集合の列に直す✓補題 5.3・スペクトルの多重度
Hahn–Hellinger の定理✓定理 7.1・スペクトルの多重度

密度による書き換え

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件