減少する測度の列を集合の列に直す

補題 5.3（「スペクトルの多重度」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mu$ を局所有限なボレル測度、 $\mu_1,\mu_2,\ldots$ を有限なボレル測度で、 $\mu_1\ll\mu$ かつ $\mu_{k+1}\ll\mu_k$ （ $k\in\mathbb{N}$ ）を満たすものとする。このとき、ボレル集合 $E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots$ で $\mu_k\sim\mathbf{1}_{E_k}\mu$ （ $k\in\mathbb{N}$ ）となるものと、 $\lambda$ と両立するユニタリ作用素 $V:\bigoplus_kL^2(\mathbb{R},\mu_k)\to\bigoplus_kL^2(E_k,\mu)$ が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

密度による書き換え✓補題 5.1・スペクトルの多重度
- Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
  - Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
    有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Hahn–Hellinger の定理✓定理 7.1・スペクトルの多重度
Hahn–Hellinger の定理（純絶対連続の場合）✓定理 7.2・スペクトルの多重度

減少する測度の列を集合の列に直す

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件