Gram 行列による多重度関数の読み取り

命題 7.4（「スペクトルの多重度」§7）・ ✓公理まで証明済み

$H$ を可分な Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の純絶対連続な自己共役作用素、 $\{\psi_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $\mathcal{H}$ の稠密な部分集合をなす列とする。このとき各 $i,j$ について $\mu_{\psi_i,\psi_j}$ は Lebesgue 測度に関して絶対連続で、密度 $\rho_{\psi_i,\psi_j}=\mathrm{d}\mu_{\psi_i,\psi_j}/\mathrm{d}\lambda\in L^1(\mathbb{R})$ を持つ。 $G_N(\lambda)=(\rho_{\psi_i,\psi_j}(\lambda))_{i,j=1}^N$ とおくと、Lebesgue-a.e. の $\lambda$ で

すべての $N$ について $G_N(\lambda)$ は半正定値で、 $\mathrm{rank}\,G_N(\lambda)\le m_H(\lambda)$ 、
$\sup_N\mathrm{rank}\,G_N(\lambda)=m_H(\lambda)$

が成り立つ。1 は $\{\psi_n\}$ が稠密でなくても成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 60 件、定義なども含めて 71 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hahn–Hellinger の定理（純絶対連続の場合）✓定理 7.2・スペクトルの多重度
- Hahn–Hellinger の定理✓定理 7.1・スペクトルの多重度
  - 可分空間の巡回分解✓命題 3.2・スペクトルの多重度
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
  - 密度による書き換え✓補題 5.1・スペクトルの多重度
    Radon–Nikodym の定理✓定理 4.3・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理この先をたどる →
  - 成分の並べ替え✓補題 5.2・スペクトルの多重度
  - 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
  - 最大スペクトル型の存在✓命題 4.1・スペクトルの多重度
    可分空間の巡回分解✓命題 3.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
    掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
  - 最大スペクトル型定義 4.2・スペクトルの多重度
  - 減少する測度の列を集合の列に直す✓補題 5.3・スペクトルの多重度（上で展開済み）
  - Gram 行列による多重度の読み取り（一般形）✓命題 6.4・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度
  - 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
    非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
  - スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
    ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
    ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- 純点・絶対連続・特異連続部分空間定義 4.1・スペクトルの分類
- 減少する測度の列を集合の列に直す✓補題 5.3・スペクトルの多重度
  - 密度による書き換え✓補題 5.1・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- Gram 行列による多重度の読み取り（一般形）✓命題 6.4・スペクトルの多重度（上で展開済み）
多重度関数定義 7.3・スペクトルの多重度
Gram 行列による多重度の読み取り（一般形）✓命題 6.4・スペクトルの多重度
- 掛け算模型のスペクトル測度✓補題 2.2・スペクトルの多重度（上で展開済み）
- Gram 行列の階数✓補題 6.2・スペクトルの多重度
- 稠密な列はほとんどすべてのファイバーを張る✓補題 6.3・スペクトルの多重度

これを使っている定理証明で参照している 1 件

連続な密度を持つ稠密な部分空間と多重度✓命題 4.1・強時間作用素の存在

Gram 行列による多重度関数の読み取り

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件