Gram 行列による多重度の読み取り（一般形）

$H$ を可分な Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素とし、局所有限なボレル測度 $\mu$、ボレル集合の減少列 $E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots$、ユニタリ作用素 $W:\mathcal{H}\to\bigoplus_kL^2(E_k,\mu)$ で $WHW^{-1}=M_\lambda$ となるものがあるとする。$m=\sum_k\mathbf{1}_{E_k}$ とおく。

1. 任意の $\varphi,\psi\in\mathcal{H}$ について $\mu_{\varphi,\psi}\ll\mu$ であり、$\mu$-a.e. で $\dfrac{\mathrm{d}\mu_{\varphi,\psi}}{\mathrm{d}\mu}(\lambda)=\langle\widehat{W\varphi}(\lambda),\widehat{W\psi}(\lambda)\rangle$。
2. 任意の列 $\psi_1,\psi_2,\ldots\in\mathcal{H}$ について $G_N(\lambda)=\Bigl(\dfrac{\mathrm{d}\mu_{\psi_i,\psi_j}}{\mathrm{d}\mu}(\lambda)\Bigr)_{i,j=1}^N$ とおくと、$\mu$-a.e. の $\lambda$ ですべての $N$ について $G_N(\lambda)$ は半正定値で $\mathrm{rank}\,G_N(\lambda)\le m(\lambda)$。
3. さらに $\{\psi_n\}$ が $\mathcal{H}$ で稠密なら、$\mu$-a.e. で $\sup_N\mathrm{rank}\,G_N(\lambda)=m(\lambda)$。