物理学 › フォック空間と第二量子化 › Bogoliubov 変換と Shale の定理有料章

Shale–Stinespring の定理

定理 7.3（「Bogoliubov 変換と Shale の定理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• フェルミオンの Bogoliubov 変換の基本性質✓補題 7.1・Bogoliubov 変換と Shale の定理

  • 正準反交換関係（CAR）✓定理 3.3・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係

    • フェルミオンの生成・消滅作用素定義 3.1・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係
    • ウェッジ積への作用✓命題 3.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
  • CCR を保つ条件✓命題 3.2・Bogoliubov 変換と Shale の定理

    • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • 対称化と部分内積の交換公式✓補題 5.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 分極 Fock 表現の基本性質✓補題 2.3・外場 QED と Shale–Stinespring の定理（上で展開済み）
• 分極 Fock 表現の基本性質✓補題 2.3・外場 QED と Shale–Stinespring の定理

  • 真空の特徴づけ✓命題 3.6・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係

    • ウェッジ積への作用✓命題 3.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
    • $dΓ_f$ の生成・消滅作用素による表示✓命題 4.4・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
  • ウェッジ積への作用✓命題 3.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
• 真空期待値は射影で決まる✓補題 2.4・外場 QED と Shale–Stinespring の定理
• $dΓ_f$ の固有ベクトル✓命題 4.5・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係

  • ウェッジ積の内積は Gram 行列式✓補題 2.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
  • フェルミオン第二量子化 $Γ_f$ と $dΓ_f$定義 4.1・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係
• ウェッジ積への作用✓命題 3.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係

  • ウェッジ積の内積は Gram 行列式✓補題 2.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
• V がコンパクトなときの標準形✓補題 7.2・Bogoliubov 変換と Shale の定理

  • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

    • ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素 この先をたどる →
    • コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    • 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
  • 極分解✓定理 4.11・有界作用素と共役作用素

    • 共役の基本性質✓命題 3.3・有界作用素と共役作用素
    • 部分等長の特徴づけ✓命題 4.8・有界作用素と共役作用素

      • 直交射影の特徴づけ✓定理 4.5・有界作用素と共役作用素
  • フェルミオンの Bogoliubov 変換の基本性質✓補題 7.1・Bogoliubov 変換と Shale の定理（上で展開済み）
• 排他原理と占有数作用素✓系 3.5・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係
• $dΓ_f$ の生成・消滅作用素による表示✓命題 4.4・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係

  • ウェッジ積への作用✓命題 3.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係（上で展開済み）
• ウェッジ積の内積は Gram 行列式✓補題 2.2・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係

  • 内積の行列式・パーマネント公式✓命題 3.7・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

      • 置換作用素はユニタリ表現✓命題 3.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
      • 直交射影の特徴づけ✓定理 4.5・有界作用素と共役作用素
  • n 粒子空間の正規直交基底✓定理 4.1・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間（上で展開済み）
    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

      • Hilbert 空間のテンソル積定義 3.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • テンソル積上の内積✓命題 3.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)✓定理 3.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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