数学 › 特殊関数と漸近解析 › Bessel・Airy・Whittaker 関数

大きい x での Bessel 関数

系 6.8（「Bessel・Airy・Whittaker 関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

実数 $\nu$ について、 $A_\nu>0$ と $\varphi_\nu$ が存在して、すべての $x>0$ で

\sqrt x\,J_\nu(x)=A_\nu\cos(x-\varphi_\nu)+r_\nu(x),\qquad|r_\nu(x)|\le A_\nu\bigl(e^{|\nu^2-1/4|/x}-1\bigr).

$\nu=l-\frac12$ （ $l=0,1,2,\dots$ ）では $A_\nu=\sqrt{2/\pi}$ 、 $\varphi_\nu=\frac{\nu\pi}2+\frac\pi4$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 70 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

振動型方程式の誤差評価✓定理 6.7・Bessel・Airy・Whittaker 関数
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
半整数次の Bessel 関数✓命題 4.2・級数解と確定特異点
- ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分
    微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
    連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - ガンマ積分の収束✓命題 5.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    べき関数の広義積分の収束条件✓命題 2.4・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
Bessel 関数の漸化式✓命題 3.1・Bessel・Airy・Whittaker 関数

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Bessel 関数の大きい x での漸近形✓定理 3.2・漸近解析

大きい x での Bessel 関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件