数学 › 特殊関数と漸近解析 › Bessel・Airy・Whittaker 関数

振動型方程式の誤差評価

定理 6.7（「Bessel・Airy・Whittaker 関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$q$ を $[a,\infty)$ 上の連続な実数値関数で、 $Q(x):=\int_x^\infty|q(y)|\,dy\lt\infty$ とする。実数 $c_1,c_2$ に対し $u_0(x)=c_1\cos x+c_2\sin x$ 、 $A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$ とおく。

$u''+u=qu$ の解 $u$ で、 $x\ge a$ において

|u(x)-u_0(x)|\le A\bigl(e^{Q(x)}-1\bigr),\qquad|u'(x)-u_0'(x)|\le A\bigl(e^{Q(x)}-1\bigr)

をみたすものがただ一つ存在する。 2. 逆に $u''+u=qu$ のすべての解は、ただ一組の $(c_1,c_2)$ について 1 の形で得られる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

大きい x での Bessel 関数✓系 6.8・Bessel・Airy・Whittaker 関数

振動型方程式の誤差評価

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件