数学 › 偏微分方程式 › 波動方程式

Duhamel の原理（1 次元の非斉次波動方程式）

命題 2.2（「波動方程式」§2） ・ ✓公理まで証明済み

f∈C(R×[0,∞))f\in C(\mathbb{R}\times[0,\infty)) で fxf_x も連続とする。各 s≥0s\ge0 について、w(⋅,⋅;s)w(\cdot,\cdot;s) を斉次方程式 wtt=wxxw_{tt}=w_{xx}（t≥st\ge s）の、t=st=s での初期値 w=0w=0、wt=f(⋅,s)w_t=f(\cdot,s) の解

w(x,t;s)=12∫x−(t−s)x+(t−s)f(y,s) dyw(x,t;s)=\frac12\int_{x-(t-s)}^{x+(t-s)}f(y,s)\,dy

（定理 2.1 で g=0g=0、h=f(⋅,s)h=f(\cdot,s)、時刻を ss だけずらしたもの）とする。このとき

u(x,t)=∫0tw(x,t;s) dsu(x,t)=\int_0^tw(x,t;s)\,ds

は C2C^2 級で utt=uxx+fu_{tt}=u_{xx}+f、u(x,0)=ut(x,0)=0u(x,0)=u_t(x,0)=0 を満たし、これらを満たす C2C^2 級の解は uu だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 98 件、定義なども含めて 116 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。