有限伝播速度

定理 5.3（「波動方程式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$u\in C^2(\mathbb{R}^n\times[0,t_0])$ が $u_{tt}=\Delta u$ を満たすとする。 $x_0\in\mathbb{R}^n$ について、 $B(x_0,t_0)$ 上で $u(\cdot,0)=u_t(\cdot,0)=0$ ならば、円錐 $K=\{(x,t)\mid0\le t\le t_0,\ |x-x_0|\le t_0-t\}$ 上で $u=0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 93 件、定義なども含めて 111 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

球の上の積分の半径微分✓補題 2.3・ラプラス方程式と調和関数
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
  - 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Duhamel の原理（1 次元の非斉次波動方程式）✓命題 2.2・波動方程式
台の広がり✓系 5.4・波動方程式

有限伝播速度

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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