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自由場の Bisognano–Wichmann の定理

定理 5.4（「局所ネットのモジュラー理論」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 206 件、定義なども含めて 235 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 楔に対する真空の巡回性・分離性✓系 6.5・Haag–Kastler 公理と局所ネット

  • Reeh–Schlieder の定理✓定理 5.1・Haag–Kastler 公理と局所ネット
• くさびの環での KMS 条件✓補題 5.3・局所ネットのモジュラー理論

  • Weyl 関係✓定理 4.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

      • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • Segal 場の本質的自己共役性✓定理 3.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

      • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 有限粒子ベクトル上の評価✓補題 2.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
      • 解析ベクトル定義 7.4・自己共役性の判定
      • Nelson の解析ベクトル定理✓定理 7.5・自己共役性の判定 この先をたどる →
    • 解析ベクトル上の指数級数✓補題 2.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

      • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 真空に Weyl 作用素を施したベクトル✓定理 6.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
  • 1 粒子の KMS 関係✓補題 5.2・局所ネットのモジュラー理論
  • 帯領域上の有界正則関数✓補題 2.4・KMS 状態と熱平衡
  • Kaplansky の稠密性定理✓定理 3.8・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 連続線形写像の判定✓命題 3.3・局所凸空間と弱位相

      • 局所凸位相の基本性質✓命題 3.2・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
    • 分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
    • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
    • von Neumann 環の位相的特徴づけ✓系 3.4・von Neumann 環と二重可換子定理

      • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
    • 連続関数計算✓系 6.3・C*-代数の基礎 この先をたどる →
• 指数ベクトル✓補題 6.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
    • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
  • 対称テンソルの分極公式✓命題 3.6・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • 置換作用素定義 3.1・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間
• 解析接続と定義域✓補題 2.1・局所ネットのモジュラー理論

  • 帯領域上の有界正則関数✓補題 2.4・KMS 状態と熱平衡
• 真空に Weyl 作用素を施したベクトル✓定理 6.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

  • 指数ベクトル✓補題 6.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
  • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • f についての反線形性と線形性✓命題 4.5・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
    • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
• くさびの 1 粒子波動関数の解析接続✓補題 5.1・局所ネットのモジュラー理論

  • 解析接続と定義域✓補題 2.1・局所ネットのモジュラー理論（上で展開済み）
• 自由場の PCT 作用素✓補題 4.4・PCT 定理・スピン統計定理・Haag の定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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