Ritz 値による上界と Liu の下界の幅

命題 6.1（「固有値問題の離散化」§6）・ ✓公理まで証明済み

定理 4.2 の 2 の仮定（ $\|w - P_hw\|_a \le \eta\|Aw\|$ 、 $w \in D(A)$ ）のもとで、 $k \le \dim V_h$ について

\frac{\lambda_k^h}{1 + \eta^2\lambda_k^h} \le \lambda_k \le \lambda_k^h

が成り立つ。区間の幅は $\dfrac{\eta^2(\lambda_k^h)^2}{1 + \eta^2\lambda_k^h} \le \eta^2(\lambda_k^h)^2$ である。また $\eta^2\lambda_k \lt 1$ なら $\lambda_k^h \le \lambda_k/(1 - \eta^2\lambda_k)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

適合な Galerkin 近似の上界と単調性✓定理 4.1・固有値問題の離散化
- Ritz 値のミニマックス表示✓補題 2.3・固有値問題の離散化
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 形式についてのミニマックス原理✓補題 2.1・固有値問題の離散化
- 形式についてのミニマックス原理✓補題 2.1・固有値問題の離散化
Ritz 射影の誤差の双対評価✓補題 5.1・固有値問題の離散化
Galerkin 射影の誤差定数による下界（Liu）✓定理 6.3・無限次元の固有値の包含
- クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
    閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性（上で展開済み）
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Ritz 値による上界と Liu の下界の幅

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）