解析関数の Chebyshev 補間

系 6.7（「多項式補間」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\rho \gt 1$ とし、 $f$ は Bernstein 楕円 $E_\rho$ で正則、 $[-1,1]$ 上で実数値とする。 $p_n$ を $[-1,1]$ の Chebyshev 点での $f$ の補間多項式とすると、 $1 \lt r \lt \rho$ と $M_r = \max_{\partial E_r}|f|$ について

\max_{[-1,1]}|f - p_n| \le \Bigl(2 + \frac4\pi + \frac2\pi\log(2n+1)\Bigr)\frac{2M_r\,r^{-n}}{r - 1}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 98 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

打ち切り誤差✓系 3.2・誤差保証つきの求積と関数近似
Bernstein 楕円と Chebyshev 係数✓定理 3.1・誤差保証つきの求積と関数近似
- Joukowski 変換の性質✓補題 2.2・誤差保証つきの求積と関数近似
- ローラン展開✓定理 6.1・正則関数の強力な性質
  - 積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
Lebesgue 定数による誤差の評価✓定理 5.2・多項式補間
- Weierstrass の多項式近似定理✓系 4.4・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
Chebyshev 点の Lebesgue 定数の上界✓定理 6.5・多項式補間
- Chebyshev 点での補間誤差✓系 6.3・多項式補間
  - Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間（上で展開済み）
  - 零点の個数✓系 2.3・多項式補間
    補間多項式の存在と一意性✓定理 2.2・多項式補間この先をたどる →
  - Chebyshev 多項式の最小最大性✓定理 6.2・多項式補間
    Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間（上で展開済み）
    中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
    零点の個数✓系 2.3・多項式補間（上で展開済み）
  - 補間誤差の公式✓定理 4.1・多項式補間
    Rolle の定理の繰り返し✓補題 3.4・多項式補間この先をたどる →
- Chebyshev 多項式の三角関数による表示✓補題 6.1・多項式補間
  - 零点の個数✓系 2.3・多項式補間（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

解析関数の Chebyshev 補間

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）