Joukowski 変換の性質

$\rho\gt1$ とする。

1. すべての $k\ge0$ と $w\ne0$ について $T_k(J(w))=\tfrac12(w^k+w^{-k})$。とくに $T_k(\cos\theta)=\cos k\theta$ で、$[-1,1]$ 上 $|T_k|\le1$。
2. $1\lt r\lt\rho$ のとき、$J$ は円 $|w|=r$ と円 $|w|=r^{-1}$ をともに楕円 $\partial E_r$ の上へ写し、単位円を $[-1,1]$ の上へ写す。
3. $J$ は円環 $A_\rho=\{\rho^{-1}\lt|w|\lt\rho\}$ を $E_\rho$ の中へ写す。