位数 pq の群

定理 5.5（「群の作用と Sylow の定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$p < q$ を素数、 $G$ を位数 $pq$ の群とする。

$G$ の Sylow $q$ 部分群 $Q$ は正規部分群で、 $G \cong Q \rtimes P$ （ $P$ は Sylow $p$ 部分群）。
$p \nmid q - 1$ ならば、 $G$ は巡回群 $\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$ に同型である。
$p \mid q - 1$ ならば、 $G$ は巡回群であるか、非可換群 $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \rtimes_\theta \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （ $\theta$ は自明でない準同型）に同型である。後者は存在し、 $\theta$ のとり方によらず同型を除いてただ 1 つである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Sylow の第 3 定理（個数）✓定理 4.5・群の作用と Sylow の定理
- Sylow の第 2 定理（共役）✓定理 4.4・群の作用と Sylow の定理
  - p 群の作用の固定点の合同式✓補題 3.2・群の作用と Sylow の定理
- 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類（上で展開済み）
- p 群の作用の固定点の合同式✓補題 3.2・群の作用と Sylow の定理
Sylow の第 1 定理（存在）✓定理 4.2・群の作用と Sylow の定理
- 二項係数の p 進的な性質✓補題 4.1・群の作用と Sylow の定理
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理（上で展開済み）
半直積の認識✓命題 5.3・群の作用と Sylow の定理
Z/nZ が体になる条件✓系 5.5・環と体の基礎
- 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 剰余環 Z/nZ は可換環である✓補題 3.5・環と体の基礎
- ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
  - ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
    除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理この先をたどる →
- 有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎
  - 整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類（上で展開済み）

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位数 pq の群は可解✓系 6.3・群の作用と Sylow の定理

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